1.6 - 简书

1.6

我们现在转而去考察经济的供给端

考虑有 $K$ 个商品的经济，有生产向量 $y=(y_1,...,y_K)\in\mathbb R^K$ ，生产可行集 $Y\subset \mathbb R^K$ ，价格向量 $p=(p_1,...,p_K)\gg0$

转换函数 $F$ ，有 $Y=\{y\in\mathbb R^K|F(y)\leq0\}$

转换边界 $\{y\in\mathbb R^K|F(y)=0\}$

商品 $i$ 对商品 $j$ 的边际转换率为 $MRT_{i,j}(\overline y)=\frac{\partial F(\overline y)/\partial y_i}{\partial F(\overline y)/\partial y_j}$

在生产过程中，一部分商品可以被当作产出品，另一部分商品可以被当作投入品

产出品 $q=(q_1,...,q_m)\geq0$ ，投入品 $z=(z_1,...,z_{K-m})\geq0$

当 $m=1$ 时，产出品只有一个，有生产函数 $f:\mathbb R^{K-1}\rightarrow\mathbb R$

$Y=\{(-z_1,...,-z_{K-1};q)|q-f(z_1,...,z_{K-1})\leq0\&(z_1,...,z_{K-1})\geq0\}$

投入品 $z_i$ 对投入品 $z_j$ 的边际技术替代率为 $MRTS_{i,j}(\overline z)=\frac{\partial F(\overline z)/\partial z_i}{\partial F(\overline z)/\partial z_j }$

生产集 $Y$ 有如下性质：

①非空且闭

②无免费午餐： $Y\cap \mathbb R_+^K\subset\{0\}$

③可以不行动： $0\in Y$

④自由处置：若 $y\in Y,y^\prime\leq y$ ，则 $y^\prime\in Y$ ，即 $Y-\mathbb R_+^K\subset Y$

⑤不可反置：若 $y\in Y,y\ne0$ ，则 $-y\notin Y$

⑥可加性：若 $y,y^\prime\in Y$ ，则 $y+y^\prime\in Y$

⑦凸性：若 $y,y^\prime\in Y,a\in[0,1]$ ，则 $ay+(1-a)y^\prime\in Y$

⑧凸锥：若 $y,y^\prime\in Y,a,b\geq0$ ，则 $ay+by^\prime\in Y$

规模报酬

①非增规模报酬：

$y\in Y\Rightarrow ay\in Y,\forall a\in[0,1]$ ，即 $f(tz)\leq tf(z)$

②非减规模报酬：

$y\in Y\Rightarrow ay\in Y,\forall a\geq1$ ，即 $f(tz)\geq tf(z)$

③常数规模报酬：

$y\in Y\Rightarrow ay\in Y,\forall a\geq0$ ，即 $f(tz)=tf(z)$

利润最大化问题(PMP)： $\pi(p)=\max_{y\in Y}py\qquad s.t.\quad F(y)\leq0$

有 $y(p)=\{y\in Y|py=\pi(p)\}$

性质：

利润函数 $\pi(p)$ 有如下性质：

①1阶齐次性： $\forall \lambda\geq0,\pi(\lambda p)=\lambda\pi(p)$

②单调性：若产出品 $p_i^\prime\geq p_i$ ，投入品 $p_j^\prime\leq p_j$ ，则 $\pi(p^\prime)\geq\pi(p)$

③凸性：若 $p^{\prime\prime}=ap+(1-a)p^\prime,a\in[0,1]$ ，则 $\pi(p^{\prime\prime})\leq a\pi(p)+(1-a)\pi(p^\prime)$

④连续性

唯一产出品的情形：

生产函数 $q=f(z)$

产出品价格为 $p>0$ ，投入品价格为 $w=(w_1,...,w_{K-1})\gg0$

利润最大化问题： $\max_{z\geq 0}pf(z)-wz$

一阶条件： $p\frac{\partial f(z)}{\partial z_i}=w_i,i=1,...,K-1$ ，其中 $MP_i=\frac{\partial f(z)}{\partial z_i}$

边际技术替代率 $MRTS_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}$

给定供给函数 $y(p)$ ，有 $\pi(p)=p\cdot y(p)$

若 $y(p)$ 是单点集，则 $y_i(p)=\frac{\partial \pi(p)}{\partial p_i},i=1,...,K$

成本最小化问题(CMP)： $c(w,q)=\min_{z\geq0}wz\qquad s.t.\quad f(z)\geq q$

需求函数 $z(w,q)$ ，成本函数 $c(w,q)$

成本函数 $c(w,q)$ 的性质：

①对投入品价格 $w$ 为1阶齐次性

②对产出品产量 $q$ 非减

③对投入品价格 $w$ 为凹性

④对投入品价格连续

⑤Shepard引理： $z_i(w,q)=\frac{\partial c(w,q)}{\partial w_i},i=1,...,K-1$

需求函数 $z(w,q)$ 的性质：

①对投入品价格 $w$ 为0阶齐次性

②矩阵 $Z=(\frac{\partial z_i(w,q)}{\partial w_j})_{K-1\times K-1}$ 对称且半负定

成本函数：

①平均成本函数 $AC(q)=\frac{c(w,q)}{q}$

②边际成本函数 $MC(q)=\frac{\partial c(w,q)}{\partial q}$

回顾企业利润最大化问题(PMP)： $\max_qpq-c(w,q)$

一阶条件： $p=MC(q)$

短期运行和长期运行的对比：

假定即便产量降为0，仍然有些投入品需要使用

固定投入 $\overline z=(\overline z_1,...,\overline z_k)$ ，价格为 $\overline w$ ；可变投入 $z=(z_{k+1},...,z_{K-1})$

短期成本函数 $C^{SR}(w,q;\overline w,\overline z)=\overline w\overline z+wz(w,q;\overline z)$

长期成本函数 $C^{LR}(w,q)=\min_{\overline z}C^{SR}(w,q;\overline w,\overline z)$

即 $C^{LR}(w,q)$ 是 $C^{SR}(w,q;\overline w,\overline z)$ 的下包络线