### 定积分的定义
定积分是积分的一种，它表示函数在某一区间上的累积效果，通常可以理解为该区间内函数曲线下的面积（当函数值非负时）。对于一般的函数，定积分可以表示为：
$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$
这里，$a$ 和 $b$ 是积分的下限和上限，$f(x)$ 是被积函数，$dx$ 表示对$x$的积分。
### 定积分的几何意义
- 当$f(x) \geq 0$时，$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 表示由曲线$y = f(x)$、直线$x = a$、$x = b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当$f(x)$在区间$[a, b]$上既有正值又有负值时，$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 表示曲边梯形面积的代数和，即$x$轴上方部分取正，下方部分取负。
### 定积分的性质
1. **线性性质**：$\int_{a}^{b} [k \cdot f(x) + c \cdot g(x)] \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx + c \int_{a}^{b} g(x) \, dx$，其中$k$和$c$是常数。
2. **保序性**：如果$f(x) \leq g(x)$在$[a, b]$上恒成立，那么$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx$。
3. **区间可加性**：$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$，其中$a < c < b$。
### 定积分的计算
1. **基本积分表**：掌握一些基本函数的定积分，如$\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$（$n \neq -1$）等。
2. **换元积分法**：通过变量替换简化积分表达式。
3. **分部积分法**：用于处理两个函数的乘积的积分。
4. **定积分的几何意义**：直接利用几何图形求解。
5. **数值积分**：对于复杂函数或无法找到原函数的情况，可以使用数值方法（如梯形法、辛普森法等）近似求解。
### 示例
计算$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$：
$$ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3} $$
这里我们使用了基本积分表和定积分的计算法则。
希望这能帮助你理解定积分的基本概念和计算方法！如果有任何进一步的问题，请随时提问。
