树形动态规划

树形动态规划是在属性结构上实现的动态规划,也称树形DP。动态规划自身是多阶段决策问题,而树形结构有明显的层次性,正好对应动态规划的多个阶段。树形结构有明显的层次性,正好对应动态规划的多个阶段。树形DP的求解过程一般为自底向上,将子树从小到大作为DP的“阶段”,将节点编号作为DP状态的第1维,代表以该节点为根的子树。树形DP一般采用深度优先遍历的方法,递归求解每颗子树,回溯时从子节点向上进行状态转移。在当前节点的所有子树都求解完毕后,才可以求解当前节点。

树形动态规划-01.png

树形DP有两种(大部分情况不可以相互转化):

  • 根到叶子:不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多。
  • 叶子到根:根的子节点传递有用的信息给根,完后根得出最优解的过程。

叶子到根节点

  1. 二叉树灯饰

每个节点上均有一盏灯和三个开关。节点值为 0 表示灯处于「关闭」状态,节点值为 1 表示灯处于「开启」状态。每个节点上的三个开关各自功能如下:

  • 开关 1:切换当前节点的灯的状态;
  • 开关 2:切换以当前节点为根的子树中,所有节点上的灯的状态;
  • 开关 3:切换当前节点及其左右子节点(若存在的话)上的灯的状态;

需要找到最少的开关更新次数。

求解过程:用长度为2的二进制数来表示树的状态,低位表示根节点,高位表示除根以外的节点,其中00为全关,01为根节点开、其他全关,10为根节点关、其他全开,11为全开。用长度为3的二进制数来表示操作状态,从低位到高位分别表示操作1、2、3,一共8种状态。其执行操作后转移的条件为左右子树同时满足全开或者全关。

使用二进制进行状态压缩的好处是切换开关状态只需要使用异或。

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