上一篇文章《集合的精确平均划分》，经典的例子大可以作进一步的引申，继续挖掘下去，我们可以提出这样一个问题：

        对于哪些正整数n，只要确定从n个不同的数中任意选取的两个数的和，就可以唯一确定这n个数？

        如果没有具体的例子，题面还真不那么容易理解，好在我们可以拿出上一篇文章里精确划分的集合，如

或者

        不难验证，对于集合X中的任意两个数的和，在Y中一定有对应的两个数的和与之相等。例如X"中的11+13等于Y"中的9+15。也就是说，从n个数里任取两个数求和，即使和值都确定，也可能得到两个不同的集合，而不是唯一地确定一个n个数的集合！此时n=2^k。

        同样可以用数学归纳法给出证明，对于集合X,Y，是｛1，2，…，2^k｝的一个划分，假设有：

        xi+xj=yi+yj （1），

        提升到新的集合：

        可以总结出，X'中的两个数的和无非是如下三种形式之一：

        由归纳假设（1）式，显然xi+xj=yi+yj，且xi+xj+2^(k+1)=yi+yj+2^(k+1)，而不论X'或Y'，都包含集合X∪Y中的任意一个x与y。所以，X'与Y'中对应两数的和也是相等的。#

        我们猜测，也许结论是这样的：如果正整数n不等于2的幂，通过取两个数的和才可以唯一确定一个集合。但是，上面仅仅是举了一个2^k个元素的集合的例子，容易想到，如果所有集合的每个数都加上一个正整数m，这个结论显然也成立。我们感兴趣的是，能不能一般地求出n=2^k？

        首先要明确一点，为什么题面中强调是从n个不同的数中选取？对于集合

        假如集合X有两个数相同，每个数依次与X中所有其他数相加，会产生n-1对相同的和值，由（1）式，集合Y两元素相加，一定也有n-1对相同的和值，可知，Y中也有两个数相同。

        对于集合X,Y相同的两个数，由（1）式，显然xi=xj=yi=yj，即X,Y中有元素是相同的。xi=yi，再由（1）式，对所有的j相加，可得两集合X,Y是完全相同的。

        所以，要想通过取两个数的和不唯一地确定一个集合，首先要从n个不同数中选取。

        下面给出直接求解正整数n的方案。可以提前告诉大家，这是一个堪称经典的初等证明，把等式变换的魅力体现得淋漓尽致。设相应两元素之和相等的两个不同集合：

即对于任何不同的i≠j，xi+xj=yi+yj，设

        显然，p,q两式的平方的所有交叉项都是相等的，所以有

                                        （2）

        由p(1)=q(1)=n，可知方程p(z)-q(z)=0必有一个根是1，不妨设其重数为k，可得如下的因式分解形式，再经过变换：

        最后，令z=1，立得2n=2^k，即n是2的幂！

        凌波微步般精妙的等式变换直抵满足条件的那些n值，令人击节不已，难怪这个题面看起来并不精练的问题会令供职于著名的AT&T实验室的学者Nick Reingold念念不忘。回味一下，（2）式的设立高屋建瓴，若挈裘领，事实上，这一巧思并不神秘，只不过用到了所谓“母函数”的思想。

        何谓母函数？顾名思义，一定能生成某些东西，所以也叫“生成函数”。曾经是华罗庚的得力助手，在多复变函数论领域承华老衣钵的史济怀先生也是位杰出的科普作家，他曾经借助组合数来平易自然地引入母函数的概念。由二项式定理：

        系数是一个数列：

        这个数列可以认为是由函数(1+x)^n“产生”的，所以，f(x)=(1+x)^n就是数列的母函数。其实，我们早已在不知不觉借助母函数的方法，例如，由

        两边分别用二项式定理展开，可以轻松得到如下组合恒等式：

        这样的应用显然不能满足我们对新概念、新数学思想的求知欲，接下来就欣赏一个著名的“替换普通骰子”问题，属于一类用母函数来解决的典型问题：能否设计两个不同的骰子，使它们掷出某个点数之和的情况与两个普通骰子是一样的？也就是说，掷出的点数之和是3有2种方法，掷出点数和是7有6种方法，掷出12有1种方法等等。当然，每个骰子必须有6个面，每个面都用一个正整数标记。

        这个有趣的问题非常著名，甚至它的答案有个专门的名称：“Sicherman的骰子”，因为答案最早是由美国新泽西州的George Sicherman上校发现的，两枚骰子每个面的标记分别是｛1,3,4,5,6,8｝和｛1,2,2,3,3,4｝！

        我们用变量为x的多项式来表示其中的一颗骰子，x^k项的系数表示骰子上出现标记k的次数，显然，一颗普通的骰子对应的多项式就是：

        解答问题的关键是，掷两颗骰子的情况可以用它们对应的多项式的乘积来表示。比如，掷两颗普通骰子，乘积f^2(x)的x^10项的系数不过是从两个f(x)中各取一项相乘，使得乘积为x^10的方法数，掷出点数之和是10共有三种方法，如下：

        现在，设表示我们需要设计的骰子的多项式分别是g(x)，h(x)，掷出某个点数之和的情况相同，也就是

                                          （3）

        下面用到的方法并不陌生，无非是多项式的因式分解，f(x)可分解为

        要满足（3）式，无非是尝试一下，f式平方后的8个因式，怎么分配给g(x)，h(x)。限制条件显然是，g(x)和h(x)里不能出现系数（方法数）为负的项，也不能出现非零的常数项——这一条表示骰子上不可能有面标记“0”，限制因式分解，要求两个因式x必须给g,h各分配一个。

        尝试几次，满足条件的只有如下的分配方式：

        取其系数，就是设计的答案｛1,3,4,5,6,8｝和｛1,2,2,3,3,4｝。Sicherman的骰子问题可以作出许多发散，至今仍然有数学工作者对此津津乐道。有兴趣的读者可以用同样的方法尝试一下一个新的问题：如果有种正八面体骰子，每个面分别标记数字1到8，能否以一对数字标记不同的八面体骰子作为它们的替代品？

        通过两个经典的例子，我们对于运用母函数分析问题的基本思想有了大致的了解。一言以蔽之，母函数把组合问题中的加法原理和幂级数的幂次项相加对应了起来。本文开篇从n个不同的数中任意选取两个数之和的例子里，离散数列间的结合关系被对应到幂级数间的运算关系。“取集合X中的任意两个数之和，在Y中一定有对应的两个数之和与之相等”的离散关系被神奇地转换成我们的“裘领”第（2）式，正因为有了这种对应，牧野鹰扬一般的数学想象力才被赋予了起飞之巢窠，进而探骊得珠。而在替换普通骰子的例子里，幂级数形式来确定离散数列的构造，实乃结构本天成，妙手偶得之。

        在组合数学中，母函数不仅是一件工具，还是一整套重要的理论。母函数有很多种类型，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数等。西方哲学史上自古就有对所谓共相问题的争论，从个别具体的例子中抽提共同本质形成的抽象概念，反过来成了衡量具体例子的尺度，于是，后世一轮又一轮争论中双方的基本主张被不断赋予换汤不换药的新名词。在数学学习中，对于抽象的概念我以为一定要从具体的例子入手，且一例不通，不看下例。著有《发生函数（即母函数）论》一书的Herbert S. Wilf有个绝妙的比喻：母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。在充满艺术气息的衣架博览会现场，与其走马观花浮光掠影，不如驻足一个细部，细玩一两件精妙而天成的设计。