线性方程组的基础解系

前言：线性代数的重点

将分为两种情况

齐次
非齐次

0X00 齐次线性方程组的基础解系

齐次线性方程我们说过很多次，这次我们要说的是更普通的齐次线性方程，不是方阵，就是普通的矩阵

接下来我们来求解这个 $Ax = 0$

其中 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$ （一维列向量）称做解向量

当方程出现非零解的时候，既有无穷多解的时候：

解集 $\Leftrightarrow$ 最大无关组 $\Leftrightarrow$ 基础解系 $\zeta_1, \zeta_2, \cdots \zeta_n$

故有：

$x = k_1\zeta_1 + k_2 \zeta_2 + \cdots + k_t\zeta_t\ \ \ \ \ (k_i \in R)$

问题的关键在于：

如何求基础解系
基础解析包含多少个向量

我们来做一道题目：

我们先得到系数矩阵 A 的秩： $R(A) = 2$ 由于有 4 个未知量，所以基础解系中包含 4 - 2 = 2个向量

此时可以将原方程组用行阶梯形矩阵表示：

我们把两个方程中的共同变量（ $x_2, x_3$ ）取出来，分别取线性无关向量： $\left[\begin{matrix}x_2\\x_3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right] or\left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right]$

将 x2, x3 带入方程中：

求得两个解向量：

所以得到该线性方程的通解是：

$x = k_1\zeta_1 + k_2\zeta_2$

以后所有的求齐次线性方程组的基础解系都用此方法

0X01 非齐次线性方程的基础解系

现在我们回到更一般的情况：

当非齐次线性方程有无穷解的时候求通解

首先我们得知道该方程是不是有无穷多解，假设我们有方程 $Ax = b$ 如果方程有无穷多解则： $R(A) = R(A,b) < n$

非齐次线性方程的基础通解 = 特解 + 齐次线性方程的解

现在我们举一个具体的例子：

首先写出增广矩阵：

经过初等行列变化以后得到阶梯矩阵：

接下来我们来求它的齐次通解（也就是将等式右边化为 0）：

按照之前的方法，首先给出 3 个自由变元的取值： $\left[\begin{matrix}x_3\\x_4\\x_5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right] or\left[\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right]or \left[\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right]$

带入求得三个齐次方程的解向量

最后我们求原来线性方程的特解：

特解的方法很简单就是将之前在解齐次方程设置的自由变元设为 0 就行，我们之前设置的是 $x_3, x_4, x_5$ ，得到一个特解： $\left[\begin{matrix}-2\\3\\0\\0\\0\end{matrix}\right]$

最后我们得到原线性方程的通解：

特解 + 齐次线性方程的解 = $\left[\begin{matrix}-2\\3\\0\\0\\0\end{matrix}\right] + c_1\zeta_1+c_2\zeta_2+c_3\zeta_3 \ \ \ \ \ \ (c_i \in R, i = 1, 2, 3)$

最后编辑于：2019.11.22 09:23:12