一、 一些基本概念
1、 路径长度
树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径，路径上的分支数目为路径长度

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上图中，从1到4的路径长度为2，从7 到3的路径长度为4

2、 树的路径长度
从树根到每一个结点的路径长度之和，这种路径长度最短的树是完全二叉树
上图中，树的路径长度为：1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12

3、 权
若将树中结点赋一个有某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权

4、 结点的带权路径长度
从根结点到该结点间的路径长度与该结点的权的乘积

2、 树的路径长度
从树根到每一个结点的路径长度之和，这种路径长度最短的树是完全二叉树
上图中，树的路径长度为：1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12

3、 权
若将树中结点赋一个有某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权

4、 结点的带权路径长度
从根结点到该结点间的路径长度与该结点的权的乘积

2、 树的路径长度
从树根到每一个结点的路径长度之和，这种路径长度最短的树是完全二叉树
上图中，树的路径长度为：1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12

3、 权
若将树中结点赋一个有某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权

4、 结点的带权路径长度
从根结点到该结点间的路径长度与该结点的权的乘积

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上图中，结点d的带权路径长度为：4 X 3 = 12

5、 树的带权路径长度WPL
树中所有带权结点的路径长度之和
上图中，树的带权路径长度WPL为：7 X 1 + 5 X 2 + 2 X 3 + 4 X 3 = 35

6、 哈夫曼树（最优二叉树）
有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点均带权，带权路径长度WPL最小的二叉树即为哈夫曼树

二、 哈夫曼树的构造
1、 给定n个权值{w1, w2, w3 …… wn}构成 n棵二叉树的集合F = {T1, T2, T3 …… Tn}, 其中每棵树只有权值为Wi的根节点，其左右子树均为空。
例如，给定结点的权值为7 5 2 4，构造出树如下：

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2、 在二叉树集合F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树，构造一棵新的二叉树，且新的二叉树的根节点的权值为其左右子树结点的权值之和。
3、 在F中删除这两棵树，并将新的二叉树加入到F中

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三、 哈夫曼树的应用--得到最佳判定算法
例如，编制一个将百分制转换成五分制的程序，判定过程可用判定树来表示

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如果分数小于60，我们做1次判断即可；如果分数为60～70，需要判断2次；如果分数为70～80，需要判断3次；如果分数为80～90，需要判断4次；如果分数为90～100，需要判断5次。
在实际中，学生成绩在五个等级上的分布上不均匀的，假设分布规律如下：

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这样对100个数据进行判断，次数为：100 X 5% X 4 + 100 X 15% X 3 + 100 X 40% X 1 + 100 X 30% X 2 + 100 X 10% X 4 = 205
这样可以使大部分数据经过教少的比较次数得出结果。把每个判定框内的两次比较分开，得到最终的判定树，如下：

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哈夫曼编码的基本思想是以字符的使用频率作为权，构造一棵哈夫曼树，然后利用哈夫曼树对字符进行编码。这棵哈夫曼树，是将所要编码的字符作为叶子结点，该字符在文件中的使用频率作为叶子结点的权，以自底向上的方式，通过n-1次合并运算后构造出一棵树，权值越大的叶子离根越近。

4、 哈夫曼树的数据结构
哈夫曼树中没有度为1的结点，则一棵有n个叶子结点的哈夫曼树共有2n – 1个结点（n – 1次合并，每次产生一个新结点），对每个结点而言，需要知道双亲和孩子的信息，因此设定的存储结构如下

typedef struct 
{ 
    double weight; //权值
    int parent; //双亲
    int lchild; //左孩子 
    int rchild; //右孩子 
    char value; //该节点表示的字符 
} HNodeType;

5、 构造哈夫曼树

int i, j, x1, x2; //x1、x2为两个最小权值结点的序号。 
double m1,m2; //m1、m2为两个最小权值结点的权值。 
for (i=0; i<n-1; i++)  { 
    m1=m2=MAXVALUE; //初始化为最大值 
    x1=x2=-1; //初始化为-1 
    //找出所有结点中权值最小、无双亲结点的两个结点 
    for (j=0; j<n+i; j++)  { 
        if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)  { 
            m2 = m1; 
            x2 = x1; 
            m1 = HuffNode[j].weight; 
            x1 = j; 
        } else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)  { 
            m2=HuffNode[j].weight; 
            x2=j; 
        }
    } 
    /* 更新新树信息 */ 
    HuffNode[x1].parent = n+i; //x1的父亲为新结点编号n+i
    HuffNode[x2].parent = n+i; //x2的父亲为新结点编号n+i
    HuffNode[n+i].weight =m1+m2; //新结点权值为两个最小权值之和m1+m2
    HuffNode[n+i].lchild = x1; //新结点n+i的左孩子为x1
    HuffNode[n+i].rchild = x2; //新结点n+i的右孩子为x2
} 

举例：
有一些字符和他们的使用频率，如下图：

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初始化哈夫曼树

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对应的树

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i=0时，j=0；j<6；找双亲为−1，权值最小的两个数：

x1=0 x2=3；//x1、x2为两个最小权值结点的序号 
m1=5 m2=7；//m1、m2为两个最小权值结点的权值 
HuffNode[0].parent = 6; //x1的父亲为新结点编号n+i 
HuffNode[3].parent = 6; //x2的父亲为新结点编号n+i 
HuffNode[6].weight =12; //新结点权值为两个最小权值之和m1+m2 
HuffNode[6].lchild = 0; //新结点n+i的左孩子为x1 
HuffNode[6].rchild = 3; //新结点n+i的右孩子为x2

第一次循环后

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对应的哈夫曼树

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image.png

对应的哈夫曼树

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参考http://blog.csdn.net/rainchxy/article/details/78647182