证明：二次型%3Dx%5ETAx)
在
时的最大值为矩阵
的最大特征值
，其中是对称正定矩阵。
因为是对称矩阵，所以必定存在正交矩阵
使得
，其中
是的特征值组成的对角阵，中列向量就是对应的特征向量。正交矩阵显然可逆，其逆为转置矩阵，所以可以写为
。
又因为是正定矩阵，所以所有特征值都为正：
。
我们做正交变换：
，注意到正交变换是双射的保范变换：%5ET(Py)%3Dy%5ETP%5ETPy%3Dy%5ETy%3D%5C%7Cy%5C%7C%5E2_2)
因此我们就有%20%26%3D%5Cmax_%7B%5C%7Cx%5C%7C_2%3D1%7Dx%5ETAx%5C%5C%20%26%3D%5Cmax_%7B%5C%7Cy%5C%7C_2%3D1%7Dy%5ETP%5ETAPy%5C%5C%20%26%3D%5Cmax_%7B%5C%7Cy%5C%7C_2%3D1%7Dy%5ET%5CLambda%20y%5C%5C%20%26%3D%5Cmax_%7B%5Csum_i%20y_i%5E2%3D1%7D%5Csum_i%20%5Clambda_i%20y_i%5E2%5C%5C%20%26%5Cleqslant%20%5Clambda_%7Bmax%7D%20%5Cmax_%7B%5Csum_i%20y_i%5E2%3D1%7D%5Csum_i%20y_i%5E2%3D%5Clambda_%7Bmax%7D%20%5Cend%7Bsplit%7D)
这样就得到了一个上界，现在我们证明确实能够取到这个上界。假设是对角线上第
个值，于是取
，则
，所以
这就证明了%5Cgeqslant%20%5Clambda_%7Bmax%7D)
所以我们有%3D%5Clambda_%7Bmax%7D)
我们因此还可以证明%3D%5Clambda_%7Bmin%7D)
