13、红黑树的理解

在理解红黑树之前，先看一些二叉查找树

一、二叉查找树

二叉查找树，也称二叉搜索树，或二叉排序树。其定义也比较简单，要么是一颗空树，要么就是具有如下性质的二叉树：
（1）若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
（4）没有键值相等的节点。

举个二叉树的例子：

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可以看到如果要查询10的话，10>9

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因此到他的右子树，右子树根节点为13，10<13

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因此到其左子树，左子树根节点为11>10

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到其左子树，为10，找到相应的节点

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不过二叉查找树有一些问题，可能会出现不平横的情况，即如下图所示的情况

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从这种情况可以看出，明显存在左子树和右子树深度相差过多，在使用平衡情况下的二叉查找树是时间复杂度为logn，而出现这种极端情况的话，想要查9的位置就需要每一次都遍历下一个右子树，很有可能时间复杂度变为n(与数组普通查询的时间复杂度相同)
基于上述情况，引入了平衡二叉树，红黑树即为平衡二叉树的一种

二、平衡二叉树

平衡二叉树
　　平衡二叉搜索树，又被称为AVL树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。 —-来自百度百科

　　由于普通的二叉查找树会容易失去”平衡“，极端情况下，二叉查找树会退化成线性的链表，导致插入和查找的复杂度下降到 O(n) ，所以，这也是平衡二叉树设计的初衷。那么平衡二叉树如何保持”平衡“呢？根据定义，有两个重点，一是左右两子树的高度差的绝对值不能超过1，二是左右两子树也是一颗平衡二叉树。

如下图所示，左图是一棵平衡二叉树，根节点10，左右两子树的高度差是1，而右图，虽然根节点左右两子树高度差是0，但是右子树15的左右子树高度差为2，不符合定义，所以右图不是一棵平衡二叉树。

　　由此可以看出平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉查找树。所以，要构建跟维系一棵平衡二叉树就比普通的二叉树要复杂的多。在构建一棵平衡二叉树的过程中，当有新的节点要插入时，检查是否因插入后而破坏了树的平衡，如果是，则需要做旋转去改变树的结构。

关于旋转，这东西不拿动态图将还真很难讲明白。所以我就借一下最容易懂得红黑树这篇文章中左旋右旋的图来讲。

左旋：

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右旋：

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不同于顺时针跟逆时针变换这种方式去记忆，上面两个动态图特别方便记忆跟理解：
　　左旋就是将节点的右支往左拉，右子节点变成父节点，并把晋升之后多余的左子节点出让给降级节点的右子节点；
　　而右旋就是反过来，将节点的左支往右拉，左子节点变成了父节点，并把晋升之后多余的右子节点出让给降级节点的左子节点。
　　即左旋就是往左变换，右旋就是往右变换。不管是左旋还是右旋，旋转的目的都是将节点多的一支出让节点给另一个节点少的一支。

　　举个例子，像上图是否平衡二叉树的图里面，左图在没插入前”19“节点前，该树还是平衡二叉树，但是在插入”19“后，导致了”15“的左右子树失去了”平衡“，所以此时可以将”15“节点进行左旋，让”15“自身把节点出让给”17“作为”17“的左树，使得”17“节点左右子树平衡，而”15“节点没有子树，左右也平衡了。如下图，

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由于在构建平衡二叉树的时候，当有新节点插入时，都会判断插入后时候平衡，这说明了插入新节点前，都是平衡的，也即高度差绝对值不会超过1。当新节点插入后，有可能会有导致树不平衡，这时候就需要进行调整，而可能出现的情况就有4种，分别称作左左，左右，右左，右右。

左左：

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左左即为在原来平衡的二叉树上，在节点的左子树的左子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”10“节点的左子树”7“，的左子树”4“，插入了节点”5“或”3“导致失衡。

　　左左调整其实比较简单，只需要对节点进行右旋即可，如下图，对节点”10“进行右旋，

注意：如果对左右旋变换还不是很懂或不是很熟练的，可以对照着前面的那两个动图去想象，自己动手变换几次，就明白了。

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左右：

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左右即为在原来平衡的二叉树上，在节点的左子树的右子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的左子树”7“，的右子树”9“，插入了节点”10“或”8“导致失衡。

左右的调整就不能像左左一样，进行一次旋转就完成调整。我们不妨先试着让左右像左左一样对”11“节点进行右旋，结果图如下，右图的二叉树依然不平衡，而右图就是接下来要讲的右左，即左右跟右左互为镜像，左左跟右右也互为镜像。

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右右跟左左一样，只需要旋转一次就能把树调整平衡，而左右跟右左也一样，都要进行旋转两次才能把树调整平衡，所以，首先上图的这种调整是错误的，正确的调整方式是，将左右进行第一次旋转，将左右先调整成左左，然后再对左左进行调整，从而使得二叉树平衡。

　　即先对上图的节点”7“进行左旋，使得二叉树变成了左左，之后再对”11“节点进行右旋，此时二叉树就调整完成，如下图，

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右左：

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　　右左即为在原来平衡的二叉树上，在节点的右子树的左子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的右子树”15“，的左子树”13“，插入了节点”12“或”14“导致失衡。

　　前面也说了，右左跟左右其实互为镜像，所以调整过程就反过来，先对节点”15“进行右旋，使得二叉树变成右右，之后再对”11“节点进行左旋，此时二叉树就调整完成，如下图，

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右右：

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右右即为在原来平衡的二叉树上，在节点的右子树的右子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的右子树”13“，的左子树”15“，插入了节点”14“或”19“导致失衡。

右右只需对节点进行一次左旋即可调整平衡，如下图，对”11“节点进行左旋。

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　　平衡二叉树构建的过程，就是节点插入的过程，插入失衡情况就上面4种，算简单了，下面讲下平衡二叉树节点的删除，删除的情况会复杂一点，复杂的原因主要在于删除了节点之后要维系二叉树的平衡，但是删除二叉树节点总结起来就两个判断：①删除的是什么类型的节点？②删除了节点之后是否导致失衡？

节点的类型有三种：1.叶子节点；2.只有左子树或只有右子树；3.既有左子树又有右子树。

　　针对这三种节点类型，再引入判断②，所以处理思路分别是：

（1）当删除的节点是叶子节点，则将节点删除，然后从父节点开始，判断是否失衡，如果没有失衡，则再判断父节点的父节点是否失衡，直到根节点，此时到根节点还发现没有失衡，则说此时树是平衡的；如果中间过程发现失衡，则判断属于哪种类型的失衡（左左，左右，右左，右右），然后进行调整。

（2）删除的节点只有左子树或只有右子树，这种情况其实就比删除叶子节点的步骤多一步，就是将节点删除，然后把仅有一支的左子树或右子树替代原有结点的位置，后面的步骤就一样了，从父节点开始，判断是否失衡，如果没有失衡，则再判断父节点的父节点是否失衡，直到根节点，如果中间过程发现失衡，则根据失衡的类型进行调整。

（3）删除的节点既有左子树又有右子树，这种情况又比上面这种多一步，就是中序遍历，找到待删除节点的前驱或者后驱都行，然后与待删除节点互换位置，然后把待删除的节点删掉，后面的步骤也是一样，判断是否失衡，然后根据失衡类型进行调整。

最后总结一下，平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉树，所以查询的时间复杂度是 O(logN) 。插入的话上面也说，失衡的情况有4种，左左，左右，右左，右右，即一旦插入新节点导致失衡需要调整，最多也只要旋转2次，所以，插入复杂度是 O(1) ，但是平衡二叉树也不是完美的，也有缺点，从上面删除处理思路中也可以看到，就是删除节点时有可能因为失衡，导致需要从删除节点的父节点开始，不断的回溯到根节点，如果这棵平衡二叉树很高的话，那中间就要判断很多个节点。不管我们是执行插入还是删除操作，只要不满足左右子树高度差为1的条件，就要通过旋转来保持平衡，而的旋转非常耗时的，由此我们可以知道AVL树适合用于插入与删除次数比较少，但查找多的情况。
所以后来也出现了综合性能比其更好的树—-红黑树。

三、红黑树

简介

一种二叉查找树，但在每个节点增加一个存储位表示节点的颜色，可以是红或黑（非红即黑）。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色的方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其它路径长出两倍，因此，红黑树是一种弱平衡二叉树（由于是弱平衡，可以看到，在相同的节点情况下，AVL树的高度低于红黑树），相对于要求严格的AVL树来说，它的旋转次数少，所以对于搜索，插入，删除操作较多的情况下，我们就用红黑树。
特性：

节点是红色或黑色
根节点一定是黑色
每个叶节点都是黑色的空节点(NIL节点)
每个红节点的两个子节点都是黑色的(从每个叶子到跟的所有路径上不能有两个连续的红节点)(即对于层来说除了NIL节点，红黑节点是交替的，第一层是黑节点那么其下一层肯定都是红节点，反之一样)
从任一节点到其每个叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点
正是由于这些原因使得红黑树是一个平衡二叉树
红黑树的例子

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向红黑树中插入节点14( $\color{#DC143C}{一般默认插入节点是红色的}$ )

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