1. 一维运动的描述

知识点

运动的基本概念
知运动求力，求导法
知力求运动，微分方程法
- 寻找核心方程
- 紧扣目标，借助定义、完成变量代换
- 分离变量，得到微分方程
- 两边定积分
特殊模型：收尾速度

表达题

位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等。已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为 $x(t)=2+6t^{2}-2t^{3}$ ，则4.0 s内质点的位移和所通过的路程分别为

解答：质点在4.0 s内位移的大小 $\Delta x=x(4)-x(0)=-32$ 。由 $\frac{dx}{dt}=0$ 知，质点换向时刻为 $t=2$ . 在(0～2)时段和(2～4)时段，均做单向直线运动。(0～2)时段的路程为 $|x(2)-x(0)=8$ ，(2～4)时段的路程为 $|x(4)-x(2)|=40$ ，总路程为48.

已知 $a=3v^{2}+2$ ，这是一个关于 $a$ 和 $v$ 的方程。求 $v(t)$

解答：

已知 $x=\frac{g}{2}t^{2}+3t+5$ ，则加速度为

解答： $a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d(gt+3)}{dt}=g$

已知 $a=4t^{2}$ ，这是一个关于 $a$ 和 $t$ 的方程。求 $v(t)$

解答： $a=\frac{dv}{dt}$ 。微分方程为 $\frac{dv}{dt}=4t^{2}$

已知 $v=4t^{2}$ ，求 $x(t)$

解答：把 $v$ 变量代换为只含 $x$ 和 $t$ 的表达式 $v=\frac{dx}{dt}$ 。微分方程为 $\frac{dx}{dt}=4t^{2}$

已知 $v=3x^{2}+2$ ，求 $x(t)$

解答：把 $v$ 变量代换为只含 $x$ 和 $t$ 的表达式 $v=\frac{dx}{dt}$ 。微分方程为 $\frac{dx}{dt}=3x^{2}+2$

已知 $x=\frac{g}{2}t^{2}+3t+5$ ，则速率和加速度的表达式

解答： $v(t)=\frac{dx}{dt}=gt+3$
$a(t)=\frac{dv}{dt}=g$

运动问题中，经常需处理两个物体的速度关系。处理方法是先找到两个物体的位置间的关系，求导即可得到速度间的关系。请温习课本P15页例1.3，并完成下题。如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率 $v_{0}$ 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为 $v$ ,则小船作(　　)

解答：本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为 $h$ , $t$ 时刻定滑轮距小船的绳长为 $l$ ,则小船的位置为 $x$ .
$l$ 与 $x$ 间满足的方程为 $x^{2}=l^{2}-h^{2}$ ，其中 $h$ 为常数．两边求导得 $2x\cdot\frac{dx}{dt}=2l\cdot\frac{dl}{dt}$ ． $\frac{dl}{dt}$ 表示绳长l随时间的变化率,其大小即为 $v_{0}$ ；由于小船沿着负向运动， $\frac{dx}{dt}=-v$ .

What is the topic of the following paragraph?
In physics, we always begin with the motion of points; perhaps we should think of them as atoms, but it is probably better to be more rough in the beginning and simply to think of some kind of small objects—small, that is, compared with the distance moved.

解答：质点的运动

已知 $a=3x^{2}+2$ ，这是一个关于 $a$ 和 $x$ 的方程。求 $v(x)$

解答： $a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v$ . 微分方程为 $\frac{dv}{dx}v=3x^{2}+2$ .

已知 $\frac{dv}{dt}=4t^{2}$ ，请分离变量

解答： $dv=4t^{2}dt$

已知 $\frac{dv}{dt}=3v^{2}+2$ ，请分离变量

解答： $\frac{1}{3v^{2}+2}dv=dt$

已知 $\frac{dv}{dx}v=3x^{2}+2$ ，请分离变量

解答： $vdv=(3x^{2}+2)dx$

质点沿直线运动, 加速度 $a=4-t^{2}$ ．如果当 $t=3$ 时, $x=9$ , $v=2$ , 求质点的运动方程 $x(t)$

解答： $x=2t^{2}-\frac{1}{12}t^{4}+0.75$ . 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须用积分法解决．由 $a=\frac{dv}{dt}$ 和 $v=\frac{dx}{dt}$ 可得 $dv=adt$ 和 $dx=vdt$ ．如 $a=a(t)$ 或 $v=v(t)$ ,则可两边直接积分．如果 $a$ 或 $v$ 不是时间 $t$ 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换后再做积分。由分析知,应有 $\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{0}^{t}adt$ 得 $v=4t-\frac{1}{3}t^{3}+v_{0}$ . 由 $\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}vdt$ 得 $x=2t^{2}-\frac{1}{12}t^{4}+x_{0}$ . 将 $t=3$ 时, $x=9$ , $v=2$ 以上两式得 $v_{0}=-1$ , $x_{0}=0.75$ ．于是可得质点运动方程为 $x=2t^{2}-\frac{1}{12}t^{4}+0.75$ .

终端速度(Terminal Velocity)：当对物体的抵抗力与其速度同时增大时，物体将稳定在一定的速度上，此时的速度即为终端速度。详见百科介绍。一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度

$a=A-Bv$ ,

式中 $A$ 、 $B$ 为正恒量, 则石子下落速度 $v(t)$ 为

解答：需将式 $a(v)=\frac{dv}{dt}$ 分离变量为 $\frac{dv}{a(v)}=dt$ 后再两边积分．选取石子下落方向为 $y$ 轴正向,下落起点为坐标原点．由题意知 $a=\frac{dv}{dt}=A-Bv$ , 用分离变量法改写为 $\frac{dv}{A-Bv}=dt$ . 两边积分并考虑初始条件,有 $\int_{v_{0}}^{v}\frac{dv}{A-Bv}=\int_{0}^{t}dt$ 得石子速度 $v=\frac{A}{B}(1-e^{-Bt})$ . 由此可知当, $t\rightarrow\infty$ 时, $v\rightarrow\frac{A}{B}$ 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．

一质点沿 $x$ 轴运动，其加速度为 $a=4t$ ，已知 $t=0$ 时，质点位于 $x_{0}=10$ 处，初速度为 $v_{0}=0$ 。求其位置和时间的关系式 $x(t)$ 为

解答：需将式 $a(t)=\frac{dv}{dt}$ 分离变量为 $a(t)dt=dv$ 后再两边积分(初学者请关注积分上下限的写法)： $\int_{0}^{t}4tdt=\int_{v_{0}}^{v}dv$ ．得： $v(t)=2t^{2}$ . 将此式继续写成微分方程： $\frac{dx}{dt}=2t^{2}$ ，分离变量得： $2t^{2}dt=dx$ 。两边积分并注意积分上下限，得： $\int_{0}^{t}2t^{2}dt=\int_{x_{0}}^{x}dx$ 。积分得： $x-x_{0}=\frac{2}{3}t^{3}$ ，亦即 $x(t)=10+\frac{2}{3}t^{3}$ .

质量为 $m$ 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为 $k$ ， $k$ 为正值常量。该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是

解答：匀速运动的方程为： $mg-kv^{2}=ma=0$ ，故 $v=\sqrt{\frac{mg}{k}}$ . 这种方法只能计算出最后匀速运动。中间没有达到平衡态时，只能用微分方程了。

电动列车行驶时每千克质量所受的阻力 $F=3+2v^{2}$ ，式中， $v$ 为列车速度. 当车速达到 $v_{1}$ 时关掉电门(车子失去动力，只受阻力 $F$ )，再运行( )后列车速度减至 $v_{2}$ 。

解答：设车子质量为 $m$ . 总阻力为 $mF=m(3+2v^{2})$ . 核心方程为 $a=3+2v^{2}$ ，是关于 $a$ 和 $v$ 的方程。题目要求的是关于 $v$ 和 $x$ 的关系，所以需要变量代换： $a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v$ 。于是得到关于 $v$ 和 $x$ 的微分方程为 $v\cdot\frac{dv}{dx}=3+2v^{2}$ ，可以帮我们算出 $x(v)$ . 先分离变量得： $dx=\frac{v}{3+2v^{2}}dv$ . 两边积分，注意积分上下限，得 $\int_{0}^{x}dx=\int_{v_{1}}^{v_{2}}\frac{v}{3+2v^{2}}dv$ . 得到 $x=\frac{1}{4}\log\frac{v_{2}^{2}+\frac{3}{2}}{v_{1}^{2}+\frac{3}{2}}$ .

质量为 $m$ 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为 $v=5.0$ 。设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，当雨滴下降速率为 $v=4.0$ 时，其加速度 $a$ 为

解答：受力分析为 $mg-kv^{2}=ma$ , 稳定后有 $mg-25k=0$ , 故 $k=\frac{mg}{25}$ . 中间过程是变速运动，核心方程为 $a=g-\frac{k}{m}v^{2}=g-\frac{g}{25}v^{2}$ , 关于 $a$ 和 $v$ 的方程。题目要求的是关于 $a$ 与 $v$ 的关系，不需要进一步变量代换。直接计算得 $a=\frac{9}{25}g$ .

已知一质量为 $m$ 的质点在 $x$ 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离 $x$ 的平方成反比，即 $f=-\frac{k}{x^{2}}$ ， $k$ 是常数。设质点在 $x=A$ 时的速度为零，求质点在 $x=A/4$ 处的速度的大小。

解答：受力分析为 $f=-\frac{k}{x^{2}}$ . 核心方程为 $a=-\frac{k}{mx^{2}}$ , 关于 $a$ 和 $x$ 的方程。题目需要的是 $v$ 和 $x$ 的方程，需要变量代换。 $a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot v$ . 于是有 $\frac{dv}{dx}\cdot v=-\frac{k}{mx^{2}}$ . 分离变量得： $vdv=-\frac{k}{mx^{2}}dx$ . 两边积分，注意上下限得 $\int_{0}^{v}vdv=-\int_{A}^{\frac{A}{4}}\frac{k}{mx^{2}}dx$ . 最后得到 $\sqrt{\frac{6k}{mA}}$ .

最后编辑于：2019.02.11 10:43:07

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