3.12 权重衰减
对于过拟合现象，即模型的训练误差远小于它在测试集上的误差。虽然增大训练数据集可能会减轻过拟合，但是获取额外的训练数据往往代价高昂。本节介绍应对过拟合问题的常用方法：权重衰减（weight decay）。
3.12.1 方法
权重衰减等价于 L2 范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
3.12.2 高维线性回归实验
下面，我们以高维线性回归为例来引入一个过拟合问题，并使用权重衰减来应对过拟合。为了较容易地观察过拟合，我们考虑高维线性回归问题，如设维度<nobr aria-hidden="true" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; -webkit-tap-highlight-color: rgba(0, 0, 0, 0); text-size-adjust: none; box-sizing: border-box; transition: none 0s ease 0s; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; vertical-align: 0px; line-height: normal; text-decoration: none; white-space: nowrap !important;">p=200</nobr><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">p=200</annotation></semantics></math>p=200；同时，我们特意把训练数据集的样本数设低，如20。
%matplotlib inline
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l
n_train, n_test, num_inputs = 20, 100, 200
true_w, true_b = torch.ones(num_inputs, 1) * 0.01, 0.05
features = torch.randn((n_train + n_test, num_inputs))
labels = torch.matmul(features, true_w) + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()), dtype=torch.float)
train_features, test_features = features[:n_train, :], features[n_train:, :]
train_labels, test_labels = labels[:n_train], labels[n_train:]
3.12.3 从零开始实现
下面先介绍从零开始实现权重衰减的方法。L2范数惩罚项来实现权重衰减。
3.12.3.1 初始化模型参数
首先，定义随机初始化模型参数的函数。该函数为每个参数都附上梯度。
def init_params():
w = torch.randn((num_inputs, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
return [w, b]
[3.12.3.2 定义
下面定义L2范数惩罚项。这里只惩罚模型的权重参数。
def l2_penalty(w):
return (w**2).sum() / 2
3.12.3.3 定义训练和测试
下面定义如何在训练数据集和测试数据集上分别训练和测试模型。
batch_size, num_epochs, lr = 1, 100, 0.003
net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss
dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)
def fit_and_plot(lambd):
w, b = init_params()
train_ls, test_ls = [], []
for _ in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
# 添加了L2范数惩罚项
l = loss(net(X, w, b), y) + lambd * l2_penalty(w)
l = l.sum()
if w.grad is not None:
w.grad.data.zero_()
b.grad.data.zero_()
l.backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
train_ls.append(loss(net(train_features, w, b), train_labels).mean().item())
test_ls.append(loss(net(test_features, w, b), test_labels).mean().item())
d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('L2 norm of w:', w.norm().item())
3.12.3.4 观察过拟合
接下来，让我们训练并测试高维线性回归模型。当lambd设为0时，我们没有使用权重衰减。结果训练误差远小于测试集上的误差。这是典型的过拟合现象。
fit_and_plot(lambd=0)
输出：
L2 norm of w: 15.114808082580566
3.12.3.5 使用权重衰减
下面我们使用权重衰减。可以看出，训练误差虽然有所提高，但测试集上的误差有所下降。过拟合现象得到一定程度的缓解。另外，权重参数的<nobr aria-hidden="true" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; -webkit-tap-highlight-color: rgba(0, 0, 0, 0); text-size-adjust: none; box-sizing: border-box; transition: none 0s ease 0s; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; vertical-align: 0px; line-height: normal; text-decoration: none; white-space: nowrap !important;">L2</nobr><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">L_2</annotation></semantics></math>L2范数比不使用权重衰减时的更小，此时的权重参数更接近0。
fit_and_plot(lambd=3)
输出：
L2 norm of w: 0.035220853984355927
3.12.4 简洁实现
这里我们直接在构造优化器实例时通过weight_decay参数来指定权重衰减超参数。默认下，PyTorch会对权重和偏差同时衰减。我们可以分别对权重和偏差构造优化器实例，从而只对权重衰减。
def fit_and_plot_pytorch(wd):
# 对权重参数衰减。权重名称一般是以weight结尾
net = nn.Linear(num_inputs, 1)
nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr, weight_decay=wd) # 对权重参数衰减
optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr) # 不对偏差参数衰减
train_ls, test_ls = [], []
for _ in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
l = loss(net(X), y).mean()
optimizer_w.zero_grad()
optimizer_b.zero_grad()
l.backward()
# 对两个optimizer实例分别调用step函数，从而分别更新权重和偏差
optimizer_w.step()
optimizer_b.step()
train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).mean().item())
test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).mean().item())
d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())
与从零开始实现权重衰减的实验现象类似，使用权重衰减可以在一定程度上缓解过拟合问题。
fit_and_plot_pytorch(0)
输出：
L2 norm of w: 12.86785888671875
[图片上传失败...(image-6800c4-1582027233003)]
fit_and_plot_pytorch(3)
输出：
L2 norm of w: 0.09631537646055222
小结
- 正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
- 权重衰减等价于L2范数正则化，通常会使学到的权重参数的元素较接近0。
- 权重衰减可以通过优化器中的
weight_decay超参数来指定。 - 可以定义多个优化器实例对不同的模型参数使用不同的迭代方法。
3.13.1 随机梯度下降
在深度学习里，目标函数通常是训练数据集中有关各个样本的损失函数的平均。设i的训练数据样本的损失函数，x是模型的参数向量，那么目标函数定义为
目标函数在x处的梯度计算为
如果使用梯度下降，每次自变量迭代的计算开销为它随着n线性增长。因此，当训练数据样本数很大时，梯度下降每次迭代的计算开销很高。
随机梯度下降（stochastic gradient descent，SGD）减少了每次迭代的计算开销。在随机梯度下降的每次迭代中，我们随机均匀采样的一个样本索引
这意味着，平均来说，随机梯度是对梯度的一个良好的估计。
下面我们通过在梯度中添加均值为0的随机噪声来模拟随机梯度下降，以此来比较它与梯度下降的区别。
def sgd_2d(x1, x2, s1, s2):
return (x1 - eta * (2 * x1 + np.random.normal(0.1)),
x2 - eta * (4 * x2 + np.random.normal(0.1)), 0, 0)
show_trace_2d(f_2d, train_2d(sgd_2d))
输出：
epoch 20, x1 -0.047150, x2 -0.075628
可以看到，随机梯度下降中自变量的迭代轨迹相对于梯度下降中的来说更为曲折。这是由于实验所添加的噪声使模拟的随机梯度的准确度下降。在实际中，这些噪声通常指训练数据集中的无意义的干扰。
小结
- 使用适当的学习率，沿着梯度反方向更新自变量可能降低目标函数值。梯度下降重复这一更新过程直到得到满足要求的解。
- 学习率过大或过小都有问题。一个合适的学习率通常是需要通过多次实验找到的。
- 当训练数据集的样本较多时，梯度下降每次迭代的计算开销较大，因而随机梯度下降通常更受青睐。
