陈定学

一、自然数体系的符号组合之惑

      自然数是最早出现在人类生活中的数，早期的自然数只能记数，后经漫长演变，形成了现在的既能记数又有算术功能的完备的自然数体系。从数的演变历史来看，很难想象现在的十进制自然数体系能有某种构造规律。然而，事实上确实可找出构造规律。换言之，即我们确实可以通过揭示的构造规律，系统化、程序化地构造出各种进制的自然数体系。

莱布尼茨虽然个人独立创造出了0、1二进制自然数序列，但是他并没有给出自然数符号体系的构造方法、原理。众所周知，当前的十进制自然数序列中，8，9的后继用1和0左右组合成的”10”，这样组合之所以未被质疑，并不是因为大家都知晓这样组合是基于了某种已明确了的构造原理，而是因为这样组合构造的自然数序列及数关系，被人类的生活实践验证为是正确的。譬如人们通过3个4相加的和与2个6相加的和相等，从而判定8，9的后继序列10，11，12等数的组合是正确的，所以就这么约定俗成固定下来了。至于为什么这样组合，组合的方法原理是什么，是否还有其它组合模式，至今未见学界有系统性的论述。

二、元序列是构造自然数体系的核心概念

不仅现今的十进制数体系有构造性规律，但凡完备的数体系，都有相同的构造规律。借助元序列及其衍生的组合码、元序列码、空位号等概念，可以直观解构自然数体系的构造性原理，理解了这三个概念，自然数符号体系的构造性原理并可一目了然。

2.1、元序列

不论何种符号、何种进制数的自然数序列，都可以通过“元序列”得以建构。

何谓“元序列”？指构造者为了构造一套数体系，用自主选择的两个或两个以上有限个数的符号，在一维空间上对它们的排列位置作定格后，所形成的一组静态的符号序列。构造者用这组符号序列，按一套固定的符号组合方法操作，并可通过符号组合构造出一套自然数体系来。

（提示:笔者在下文中用单书名号“〈〉”号把组成元序列中的符号括起，以及用下横线把这组符号序列连贯起来，作为对元序列及其一维性的标记。）

构造元序列是构造数体系的第一步，构造元序列的符号是广义的，实物、字符、图形等，但凡视觉上有封闭轮廓的形相物个体都是符号，都可以用来构造元序列。譬如用自然界中排成一排的“马”，“鸡”，“狗”，“牛”四个实物，以及一个表示序列起点或空位的任意字符“”，就可以构造出一个元序列〈，马，鸡，狗，牛〉，基于这个元序列，按照本文第三章节给出的自然数符号体系的构造方法、原理，就可以组合构造出一套五进制的数体系。

元序列符号是构造自然数符号体系的物质材料，也是产生自然数个体的母体，自然数的一切性质皆源于元序列，元序列的性质特征、功能体现在以下几个方面。

2.1.1、元序列中的打头号必须是空位号、起点号

我们知道，自然数符号体系中既有表示数量“无”的符号，也有表示数量“有”的符号[1]4且“有”的表达维度中，还存在着用单个符号表示的“有”，和用多个符号组合“虚构的有”的区别，因此我们有必要对元序列中的一些符号的内涵属性，作出必要的说明、解释。     

本章节这里先对元序列中的表示“无”的自然数符号及其在自然数体系中的不可或缺性作出说明、解释:

中国先秦哲学家老子说过”万物生于有，有生于无”这句话，这句话一定程度上概括了人类的数量认知规律。分析表明，人类对数量变化的理解只能“从无到有，从少到多”[1]，4。或者反过来说，数量的变化只能“从多到少，从少到无”。这里需要举例说明:譬如8点时操场上空空如也，8:12时飞来2只麻雀，8:15时又飞来3只麻雀，8:17时一次性飞走了5只麻雀，8:18时操场又空空如也。以上陈述的三个量变过程，用自然数及其运算就可以很好地解释、表达:0+2=2；2+3=5；5-5=0。

上述可见，“空空如也”也是一种量的状态，显然应纳入到数量系统的符号体系。显见地，若没有表示“空、无”的空位号，以上自然事物的量变过程，我们就无法用数量语言具体描述。可见空位号对于一套完备的数量体系而言，是不可或缺的必要条件[2]。

数序列的组合构造需要从元序列中的第一个符号开始，所以元序列中打头排列的符号必须是空位号，然后才是依次表示基数｛|｝，｛|，|｝，｛|，|，|｝，……的符号。

2.1.2、空位号的位置决定了元序列的结构与进位方向

元序列是数位上的位值的一维展开图，所以当我们开始用元序列构造数体系，首先要把元序列的左或右、上或下某个方向端点的那个符号设置为空位号，空位号方向是数体系的进制进位方向，空位号在元序列中的位置确定了，数体系的进位方向就明确了，数序列的展开方向也就明确了（与进位方向相反）。元序列一般是左右式结构，空位号一般设置在左边，譬如当前通用的阿拉伯数字的十进制数和0、1二进制数，空位号都设置在左边，所以是从右向左进位，数序列的展开方向则从左向右。玛雅数字（图2）的元序列是上下结构的，空位号设置在下方，所以是从上往下进位。中国八卦图中的二进制卦数的元序列也是上下结构，由于卦恰巧是用阴爻阳爻两个符号构造的，所以（图1）中的八卦数的空位号，设置在上或下都行，设置在上还是下，可由解读者自定义。

（图1），中国八卦二进制数。图中的八卦数的元序列是形似“二”样的上下式结构，从图中八卦数与十进制数的对应看，图中的八卦数是以阴爻为空位号的，即以全阴的坤卦为0（以“坤”为起点号），全阳的乾卦为7，是乾向坤的方向进位。若“逆数”[3]，以阳爻为空位号，以全阳为起点号开始构造数，“卦序的逆数从《坤》卦向《乾》卦“[3]，则全阳的乾卦为0，全阴的坤卦为7。

2.1.3、空位号的信息涵义是由它在元序列中的位置定义的

数序列的组合构造是从元序列中的第一个符号开始的，所以元序列中打头排列的空位号既是元序列的起点，也是数序列展开的起点，从这意义上，空位号也叫起点号。

通过上述（2.1.2章节）不难发现，空位号的性质、内涵是由它在元序列中的位置定义的，与空位号的视觉形态其实无关。所以印度婆罗门数字中的第一个数符号“”（见图3），以及玛雅数字中的第一符号“  ”（见图2），都是有效的空位号，它们的信息意义与现在的阿拉伯数中的0是相同的。

（图2）玛雅数字。玛雅数字是20进制，其元序列是上下结构，空位号设置在下方。玛雅数的元序列是0～19二十个数位上的符号自下而上的依次叠加。可以把玛雅数的元序列想象成“一栋层楼高度不等的20层楼”。

（图3），印度婆罗门数字。其元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉。

2.1.4、元序列中的符号个数是数体系基底数的定义者

一般而言，元序列中有多少个符号，就能构造出多少进制的自然数体系，譬如0、1二进制数用0和1两个符号，所以是二进制；十进制数用0~9十个符号作为元序列构造的，所以是10进制。

这里需要解释一下:元序列在数系统层面上，是数位上位值态的一维展开图，所以数位上的位值样数，就是元序列中的符号样数。元序列中有多少种符号，数位上就能表达多少样的位值态。上文已充分阐释，数系统中空位号必不可少，所以数位上的位值样数是包括空位号在内的，所以十进制数数位上表示基数的值态实际上只有1～9九种，0、1二进制数的数位上，能表示基数的只有“1”。

2.1.5、元序列的每个符号都指代了一个唯一的集合及基数

自然数是通过一个一个表达位上的符号系统表示“基”（共几）或“序”（第几）信息的，虽然自然数个体的符号系统分为单符号态和多符号组合态的两类，但是这两类自然数在自然数序列上享有的占位权是同等的，譬如“5”和“5555”，这两个自然数的符号个数虽然不同，但是它们在自然数序列中的地位是平行的，都只享有一个表达位。因此，我们在思考自然数序列中的自然数个体时，要以表达位、表达系统为单位，要把单符号的自然数和多符号组合态的自然数都视为一个自然数系统。

    自然数系统既能作基数用途表示“共几”，又能作序数用途表示“第几”，虽然在具体的应用语境中，任一自然数个体表示的信息内涵只能指向“基”或“序”之一，并不能同指，但是如果我们只是讨论自然数的一般性质，不涉及自然数的具体用途，也不妨把自然数的基数和自然数的序数合在一起统称为”自然数的基序”，这样在阐述自然数的一般性质时会方便很多。

自然数符号系统表示的基数内涵是如何产生的呢？传统上认为，是人们在生活实践中通过对实物个数与数符号及其读音的约定，逐渐创造了自然数系列。譬如用两只鸭子或两根手指头与数符号”2”及其读音”èr“作对应约定，用人的五根手指与符号5及其读音“w ǔ”作对应约定等。

先物结构主义代表夏皮罗认为:“结构先于对象存在”，“位置即对象”，“自然数的本质在于它是自然数结构中的位置”[4]，这几句话在本文这里可这么贯穿解释:“夏皮罗认为自然数序列的结构先于自然数个体存在；每个自然数系统表示的基数内涵，都来自这个自然数系统在自然数序列中的位置”。这里先搁置夏皮罗理论的缺陷不谈，仅就“结构先于对象存在”、“位置即对象”这两个命题的直觉所指来看，大体是符合实践事实的。

实践表明，自然数序列中的所有自然数个体所表征的基数内涵，都可以通过这个自然数系统与元序列起点号之间的空间位置关系推导得出。

例如在元序列〈，马，鸡，狗，牛〉中，（对应的自然场景描述:某人走在一条0.5米宽的农村小道上，走到位置时停了下来，他抬头看到前方依次伫立着一匹马、一只鸡、一只狗、一头牛），马相对起点号“”的位置而言，显然是第“马”个元素物；鸡是第“鸡”个元素物；狗是第“狗”个元素；牛是第“牛”个元素。我们观察自然界中的一排树、一排房屋可知，在一维的符号序列中，由于每个符号系统只能占据一个排列位，所以自起点号到达序列中的某个序数符号系统的位置，期间遍历、累数过的符号系统的总个数是固定不变的，且这个总数能被“唯一的集合及其基数”指代。譬如在以上序列中，我们从“”点到达“狗”点，历经、累数过的符号系统的个数，可以被这些元素构成的一个唯一的集合｛马，鸡，狗｝及其基数所指代。（解释:“唯一性”体现在这个集合的构成元素种类及其组合顺序上）。

显然，以上提出的用集合中最后那个元素（元序列符号）指代整个集合及其基数的方法论，逻辑上是严密的、可行的，因此我们认为:可以用“狗”指代集合｛马，鸡，狗）及其基数；可以用序符号“鸡”指代集合｛马，鸡｝及其基数；可以用序号“牛”指代集合｛马，鸡，狗，牛｝及其基数；可以用“马”指代集合｛马｝及其基数。

以上操作意图说明:我们用元序列中的符号指代集合，最终目的是为了用一个符号指代几个符号才能呈现的基数信息。譬如我们用元序列中的符号“牛”指代特定集合｛马，鸡，狗，牛｝，目的就是为了用“牛”这1个符号指代这个集合中的4个符号才能表示的基数信息，达到基数信息表达的高效性、经济性。

根据操作意图说明可见，呈现、统计集合中的元素总数才是我们的最后目的，所以为了表达方便，下文中我们可以把以上集合中的“实物”元素按一一对应法则换成等量的字符元素“|”，然后把元序列〈，马，鸡，狗，牛〉中的每个序数符号系统可以指代的唯一基数集合及其基数重新表述为:序号“马”可指代基数集合｛马｝及其基数“|”；序号“鸡”可指代基数集合｛马，鸡｝及其基数“||”；序号“狗”可指代集合｛马，鸡，狗｝及其基数“|||”；序号“牛”可表征基数集合｛马，鸡，狗，牛｝及其基数“||||”，然后再进一步表示为数学式:马=|；鸡=||；狗=|||；牛=||||。

符号“”是这个自然物序列的起点号，是人的视觉观察点位置所在，是序列中各符号位置的共同的参照点，所以“”自己不指代任何序数或基数，它是它自身。

2.1.6、加、乘关系式表是通过元序列符号指代的基数建构的

找到了元序列中每个序号所指代的唯一基数后，我们并可以对这些符号作两两关系的“加法关系式”的建构。这里的“加法关系式”即我们熟悉的小学加法口诀表中的加法演绎式，十进制数的加法口诀表即0～9十个数两两之间的加法关系式表。

加法关系式表（部分）

+马=马（|）；……

马+马=鸡（||）；马+鸡=狗（|||）；

马+牛=马（|||||）；鸡+鸡=牛（||||）

鸡+狗=马（|||||）；

狗+牛=马鸡（|||||||）；……。

部分关系式的来源解释:按本文给出的符号组合原理（详见第三章节），“马”这个组合位于这个五进制数序列中的第“|，|，|，|，|”个（指最右的那个“|”），所以“马”可指代基数“|||||”，这个基数恰好是“马”的基数“|”和“牛”的基数“||||”的累加之和，也是“鸡”和“狗”的基数之和，所以马+牛=马=鸡+狗。

加法关系式表建构完毕后，我们再根据“m ×n”表示“n个m累加”的乘法理念，通过累加法，结合此数序列，一次性地建构出元序列所有符号两两之间的乘法关系式表（即乘法口诀表）。

（操作提示:为了表达的简略，下文中若基数“|”达到10个以上，就用（||…|）形式以及下角标数字作出标记。譬如“（||…|₈₅）”，意思是括弧内有85个“|”。）

乘法关系式表（部分）

……，鸡×鸡=牛；鸡×狗=马马；鸡×牛=马狗（||||||||₈）；狗×狗=马牛（|||||||||₉）；狗×牛=鸡鸡（||…|₁₂）；牛×牛=狗马（||…|₁₆）。

加、乘关系式全部构造完毕后，我们就可以用这套五进制的数体系记数或者做算术运算（减、除是加、乘的逆运算，不需要建构关系式表）。此五进制数与十进制数是同等完备的，运用这套五进制数作除法演绎，可得除法演绎式“马狗牛·马÷狗鸡=鸡·狗”[9] ，此式与十进制数的除法演绎式“44.2÷17=2.6”等价

通过构造实践可见，元序列各符号的位置决定了这个符号所能指代的基数，任一序数系统表示的基数信息，都可以通过各数位上的元序列符号指代的基数进行总基数计算，只要给出一组元序列，我们就能根据这个元序列的符号个数所对应的进制数，计算出用这种元序列构造的任一“自然数个体”(某种组合型态）所表示的基数，譬如在用〈上，中，下〉作元序列构造的三进制数体系中，“下中下上”这个三进制数与十进制数69是等价的，——即”下中下上”这个数，是元序列〈上，中，下〉从“上中”组合开始，组合、排列到“第69次”时所形成的组合型态（3³х2+3²х1+3¹х2+3⁰×0=69)。反之，我们也可以把任一十进制自然数转换为某种元序列的非十进制自然数，譬如随机给出一个十进制数“81”，这个数在元序列〈a，b，c，d，e〉的五进制数体系中，相当于组合型态“dbb”(5²х3+5¹х1+5⁰х1=81）；在〈东，西，南，北〉四进制数体系中，81则相当于组合型态“西西东西”(4³×1＋4²×1＋4¹×0＋4⁰×1=81）。

2.2、自然数系统是由“组合码”和“元序列码”两部分合成的

自然数符号体系并不是无逻辑的随机组合，而是一套无重、无遗漏的，有规律的组合编码体系。若不明确指出自然数符号体系的组合规律，就会出现本文开头所说的“8，9的后继是“10”还是“01”说不清的情况（实际这两种组合都可以[10]）。

从符号组合角度看，任一自然数符号系统，都可视为是“组合码”和“元序列码”两部分的合成。所谓“元序列码”，就是元序列中的符号，元序列码只能固定在末位，除了末位上的元序列码，其它各数位上的符号合在一起统称为“组合码”(单符号态的自然数，组合码是元序列中的空位号，例如十进制数3的组合形式是“03”），以十进制自然数“5692”为例，它是由组合码“569”和右侧末位上的元序列码“2”两部分组合而成。以二进制数“101”为例，这个数是由组合码“10”和元序列码“1”组合而成。

组合码不像元序列码是现成的、固定的，是在构造过程中即时生成的。构造初始，以元序列码作为组合码，元序列码作为组合码逐个用完后，会在已构造出的自然数序列中生成一组组合码序列，然后再用组合码序列中组合码依次、继续与元序列码组合，接着继续造数（详见下章节）。

（提示:为了直观观察组合码的组合构造作用，下文开始用黑体对组合码加黑，元序列码不作任何标记。）

三、自然数符号体系的构造性原理

交代完了元序列概念以及派生的组合码、元序列码等概念，就可以通过这些概念直观地讲解自然数及其序列构造的符号组合规律了。

自然数及其序列的构造方法、步骤：先用元序列中排首位的符号作为组合码和元序列中的所有符号依次左右组合并按序排列，然后再用元序列中的第二个符号作为组合码与元序列中的所有符号依次组合并依次承接排列，如此按顺序递进操作，直到元序列中的所有符号都两两组合穷尽后（例如99₁₀之后），再用承接在元序列之后出现的第一个真正意义上的组合态的自然数（例如10₁₀）及其后继自然数序列（例如11₁₀，12₁₀，…），依次作为组合码，继续与元序列中的元序列码组合并承接排列，如此递进操作，并可依次生成所有自然数个体及序列。

（说明:以上给出的是“左组合码+右元序列码”的组合模式，也是当前通用的十进制数的组合模式，“左元序列码+右组合码”也可以构造数体系[9]。若按”左元序列码+右组合码”模式，8，9的后继数是“01”[9]。）

3.1、阿拉伯数字的十进制数序列的构造过程讲解

阿拉伯数字的十进制数元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉，我们按以上给出的自然数符号体系的构造方法，先用以上符号依次作为组合码分别与以上所有符号作左右组合排列（执行“左组合码+右元序列码”组合模式），第一批次组合可得00，01，02，03，04，05，06，07，08，09；第二批次可得10，11，……18，19；……。当元序列中最后一个符号9与9组合完毕后（即99后），根据上文给出的组合步骤，再用承接在元序列之后出现的第一个真正意义的组合自然数“10”及其后继序列11，12，……依次作为组合码，继续与元序列码组合并承接排列:……99，100，101，……998，999，1000，1001，……。

根据组合规律不难看出，元序列符号的个数决定了组合码的使用次数，10进制数序列的组合码是”10次一换”，若构造30进制数体系，组合码应30次一换。

也不难看出，不论构造多少进制的数，元序列码都是组合1次换1次，元序列码可以尾首相连无限次循环使用。

结合十进制的机械式号码机（图4），更容易理解元序列码的性质、作用。

（图4），这是8位的号码机，该号码机的每个数位上都有0～9十个符号，0～9十个符号在圆形滚轮上均匀分布、首尾相连（与底座的垂直面是数的显示面）。按压一次“N O”按钮，靠近按钮的个位上的滚轮就向前转动一格，当个位上9→0时，号码机设计好的物理结构会让十位上的滚轮片和个位上的滚轮同步向前转动一格，共同完成“进1”步骤。

3.2、本构造论给出的构造方法是通用的

但凡结构紧凑、大小合适的字符都可用于构造数体系，譬如我们可以把26个小写英文字母和10个阿拉伯数字符号共36个符号排成一个元序列，用这个元序列构造一套36进制的数体系。

具体步骤:先列出元序列，然后按本文第三章节给出的组合构造方法，构造出这套36进制数的部分数序列。数序列是数体系中的数从小到大、依次、逐个构造形成的，所以构造数序列实质就是在从小到大构造这套数体系中的每个数。当然，构造数序列也是有现实用途的，数体系的加、乘关系式表建构离不开该数体系的数序列。譬如我们以元序列〈a， b ，c ，d， e， f ，g ，h， i， j ，k， l ，m ，n ，o， p ，q ，r ，s， t ，u ，v ，w ，x ，y ，z，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉构造36进制数，当我们建构这套36进制数的加法关系式表时，并不能直观看出w+2等于多少，我们只能通过这两个符号所在的位置查找出它们各自指代的基数，查找可知，符号w指代的基数是（||…|₂₂），符号2指代的基数是（||…|₂₈）。然后我们并可通过累加法得出w+2的和是（||…|₅₀），知道了w+2的和是（||…|₅₀），但我们并不知道基数（||…|₅₀）对应这套36进制数中的哪个数（某个组合型态），所以我们必须先构造出这套数体系的数序列，并依次列出数序列中的每个数对应的基数，这样才能建构这套数的加、乘关系式表。通过观察此36进制数的数序列可见，基数（||…|₅₀）与组合“b o”指代的基数是对应的，因此得知w+2=b o（||…|₅₀）。采用原始的计数方法建构的关系式表理论上是可靠的，但是由于计数过程可能会出现错漏，因此需要多做几次实践（关系式表是一次性建构的，一劳永逸），我们也可以通过十进制数关系式表对36进制数的关系式作验证:b指代的基数是“|”，根据进制位权理论，在36进制的1次方数位上的“|”，相当于0次方数位上的（||…|₃₆），加上0次方数位上的符号“o”指代的基数（||…|₁₄），所以”b o”表示的基数是（||…|₅₀），证明我们通过累加法获得的关系式“w+2=b o”是正确的。

由上所述可见，构造一定长度的数序列对于构造一套新数体系是必要的。当然，数序列并不需要无限构造下去，只需要构造到能够满足建构乘法关系式表涉及到的最大数即可（竖式运算是位对位的，所以只需要以数位上最大位值为最大数）。譬如十进制数的乘法关系表涉及的最大数是81₁₀（9×9=81），所以十进制数序列的长度至少要构造到第81位，构造36进制数，数序列至少要列到第1225₁₀位（35×35=1225）。

为了增强本构造论方法、步骤的具体性，本文这里用英文小写字母前6个构造一套6进制数序列的前42个数（36进制数所用字符太多，也不容易直观看出组合规律，所以这里以六进制为例）。

先列出元序列〈a， b ，c ，d ，e， f〉，然后按上文给出的构造的方法、步骤，依次组合构造此6进制数序列。

aa（0），ab（1），ac（2），ad（3），ae（4），a f（5），ba（6），bb，bc，bd，be，bf，ca（12），cb ，cc，cd，ce，cf，da（18），db ，dc ，dd ，de，df，ea（24）， eb，ec，ed ，ee，ef，fa（30），fb，fc ，fd，fe，ff，baa（36），bab，bac，bad，bae，baf，bba（42），……。

有了足够用的数序列，我们就可以按本文2.1.5、2.1.6章节阐释的原理方法，建构出这套6进制数体系的加、乘关系式表，加法关系式表和乘法关系式表建构完毕，就可以用这套数体系记数或做算术运算了。用这些数作四则运算以及乘方、开方运算，就会产生这套6进制数的负数、无限循环小数或者无限不循环小数。

四、本构造论的学术意义阐发

本文提出的自然数体系构造论（下文简称为“本构造论”），能够被各种构造实践验证，本构造论揭示的规律是科学的、事实的，因此我们认为，可以把本构造论的学术意义作进一步的阐发与推广。本构造论的学术意义主要体现在以下几个方面。

4.1、用本构造方法论可以程序化构造高进制数体系

我们知道，进制数越高，数体系的记数功能和计算能力就越强大，随着人类的科技发展，未来人类在某些领域使用高进制数及高进制计算机完全有可能。从信息与计算科学角度看，只有熟练掌握自然数体系的符号组合原理，才能快速、准确构造各种符号、各种进制数的数体系。运用本文提出的元序列等概念以及自然数符号体系的组合构造方法、步骤，可以在电脑上程序化地快速、准确构造各种高进制数的数序列，本构造论及其方法论显然为未来构造高进制数体系以及制造高进制计算机打下了理论基础。

4.2、本构造论对自然数的自然性溯源

本文中的“符号”一词是广义的，泛指一切具有空间轮廓的形相物个体。二维空间中的图形、字符，以及三维空间中的人、房屋、树木、动物等形体物，都有封闭的空间轮廓，都是本文中的符号一词的外延所指。由符号的定义可见，当我们以观察一维符号序列中的某个符号系统指代的基数为目的时，排列在电脑、纸张等二维平面上的字符号，与在三维空间中排成一排的实物符号，是可以互相映射、互相取代的。譬如笔者用图样符号指代自然界实物构造一个三维空间中的一维序列（见图5），

（图5）

再用纯字符在二维的纸张或电脑屏幕上构造一个一维序列〈猪，鸡，狗，牛〉

当我们从左边观察序列中的“狗”或“牛”所在的序列点位置以及各自表征的基数时，这两个符号序列显然可以互相取代。

至此不难想到，如果我们把当今人类通用的自然数体系中的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个基础数符号作为一个一维符号序列，然后与自然界中排成一排的九棵树以及一个起点号a作一一对应后（a点与符号0的位置对应），它们也是可以互相映射、互相取代的。

这样我们既可以把1～9九个符号视为三维空间中的九棵树（或者排成一排的9间屋、9个人、9根手指），当然，也可以反过来把九棵树视为二维平面上横排列的九个自然数符号1～9。

若把1～9九个符号当作三维空间中的九棵树理解（为了增加视觉识别性，我们可以把这九棵树依次刷上黑色、红色、绿色等颜色增强标识度），这九棵树就相当于当前十进制自然数体系中的自然物部分（三维物），承接在元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉之后的10，11等，则是通过纯字符在纸张等平面上组合“虚构的树”（二维物）。这样，我们并获得了当前十进制自然数体系的自然来源的解释:0（序列的起点、人的视觉观察点a）→1（黑树），→2（红树）…，→9（绿树）→10（用字符组合虚构的树），→11（虚构的树），……。

由上所述可见，我们人类基于一个及以上的形体物，就可构造出一套数体系，人类历史上之所以普遍采用的十进制计数，实际上与人的10根手指并没有必然性的因果关系，而是概率性的巧合，是偶然的。偶然性、巧合性在于:上古人类是以实物个数为数的，所以没有表示“没有”的数，于是人的十根手指恰巧与后来的带有空位号的10进制数产生了认识上的巧合，导致人们产生错觉，以为10进制数的自然基础是人的10根指头（若以人的两双手指头作为自然基础构造数，只能把一只手的大拇指弯曲起来作空位号、起点号处理，这样才能与其它九根指头一起构造10进制数）。实际上五根手指、六间屋子、七棵树等都能作为数体系构造的自然基础，10进制最终被人类选择，实际上是多种误解导致的巧合。

4.3、自然数体系从有限向无限跃变的认识论解释

我们知道，理论上纯字符可以在纸张、电脑等二维面上沿着一维线无限次地组合排列下去（实际输写时可以一行一行上下衔接），所以我们可以在大脑中，把元序列中的三维或二维的实物符号统一作二维化处理，然后用二维化了的元序列符号在纸张平面上组合“虚构元素物”，从逻辑上无限延伸元序列的长度，把有限的元序列变成了无限序列。

不难发现，是符号组合法的巧妙运用，才使得数体系的构造摆脱了有限元素物对应有限数的困境，使得数体系实现了从有限到无限的飞跃。

    本构造论不仅完成了对自然数体系的自然性溯源，也能解释为何自然数起步于有限个数的自然物，却能不受宇宙中的自然物基数的限制的原因，——因为我们人类不仅可以通过增加元序列符号，无限提高数体系的进制率，指数级地提高数符号的基数表达能级，还可以通过乘方法表示法无限增加数的位数，所以可以自由构造自然界中根本不存在的基数，譬如“1000⁹⁹⁹⁹⁹”这个大自然数（仅用了9个符号！这个大自然数若是100进制数的呢？），它表示的基数毫无疑问已远超过人类已知宇宙的量子数的总和（已知宇宙的粒子数≈3.28×10⁸⁰）。

4.4、本构造论的数学哲学意义

4.4.1、对“基数”概念的分类

我们知道，从作为个体的自然数系统在整个自然数序列中的物理占位看，序数系统仅是对自然数个体在自然数序列中的物理位置点的单指和标记，所以任一序数，不论其位数多么长，它在自然数序列中的那个物理位置点都是直观、自明的，并不具有抽象性。说明数学哲学经常谈论的“抽象数学对象”、“抽象实体”，在以自然数为对象时，实际上只能指“自然数的基数”。

这里应当进一步指出:数学语境中的基数概念抽象度是不同的，可分为两类:一类是可以被物理对象直观刻画的具体性的基数，例如“”、“|||”、“二”等；一类是有物理基础，但是又不能被物理对象直观呈现的抽象的基数，例如“有理数集合的基数”、“自然数集合的基数”、“超穷基数阿列夫零”等。显然地，以上所说的两种抽象度不同的基数概念是事实的，且这两种基数概念的内涵、外延都是明确的，因此我们认为可以把以上两种基数作进一步的逻辑分类及概念命名:把能被物理对象直观呈现的基数称作“物基数”；把有物理基础但又不能被物理对象直观呈现的基数称作“相基数”。

有了以上基数概念的抽象度分类（分类的意义可见于下文阐述中），我们就很容易明确在以“自然数”为抽象数学对象的讨论中，“抽象数学对象”、“抽象实体”究竟指自然数的哪个方面。显然不能指直观性的序数，只能指“基数”，——要么指可物理化例示的“物基数”，要么指抽象的“相基数”。另外还需指出:数体系的构造必须基于物理材料及空间，所以自然数符号指代、表征的基数是“物基数”，并不是抽象的“相基数”。

4.4.2、夏皮罗对“位置即对象”的解释是错误的

夏皮罗先物结构主义虽然正确指出了自然数符号系统表征的物基数，来自自然数系统之间的一维空间结构关系，但是夏皮罗并未认识到自然数的基数只能通过序数符号指代的原理。

夏皮罗直觉地认为”位置即对象”，他认为3+9之所以能等于12，是3、9、12三个自然数符号系统在自然数序列中位置的缘故[4]，说明他并未认识到3、9、12最初只能是自然数序列上的三个占位的序号、三个位置点，并不是这三个序数符号指代的物基数“|||₃”、“|||||||||₉”、“（||…|₁₂）”本身。从数体系的构造角度看，自然数序列中的任一自然数系统，只能先是序数系统，对序数系统作指代解码和进制解码后，完成了对这个序数符号系统的物基数信息的读取，这个序数系统才能成为物基数的表达系统。譬如“58”这个数，直观上我们并不能看出它表示的物基数，我们需要对58作指代解码和进制解码，——观察元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉中各符号的位置顺序，知道符号“5”可指代唯一集合｛1，2，3，4，5｝及物基数“|||||₅”（原理见2.1.5章节），符号“8”可指代物基数“||||||||₈”，根据元序列的符号个数可知这是个十进制数，然后我们根据十进制数的倍率，把十位上的5指代的物基数“|||||₅”累加十批次，然后再加上个位上的符号8指代的物基数“||||||||₈”，把58分解成5×10+8，这样才完成了对序数系统“58”表征的物基数的读取。完成读取后，58才能成为一个基、序同体的自然数。

当然，这是从数体系的构造逻辑上说的，日常人们在使用自然数工具时，并不需要每次都对自然数符号系统作指代解码和进制解码，——我们很小时已一次性地完成了对阿拉伯数字的十进制数符号的指代解码（一般十岁之前就学会了加、乘口诀表，加、乘口诀表的建构就是基于符号指代物基数原理的，譬如4（||||）+2（||）=6（||||||）），在我们大脑记忆中，已不知不觉把各种物基数譬如五根手指、两只耳朵与其指代符号5、2划等号了。

数体系的使用者可以基、序不分，但是作为数体系本质的解释者并不能基、序不分，更不能误以为数体系的建构就是基、序同步，——用一个符号系统与一种物基数作对应约定的方法构造的。不难想到，假如我们直接约定令符号“2”及其读音与“||”划等号，约定令符号“3”及读音与“|||”划等号，…，约定令符号“”与“（||…|₁₁）”划等号，……，这样造数的话，越来越多、越来越大的物基数我们如何书写？越来越多的基数对应的符号样数，我们大脑如何能记得住？这样的造数理念也被人类几千年的数字史证明是错误的。诞生于公元前2000年前的罗马数（图6）、埃及数（图7）等古数体系，就是按这种理念构造的，所以这类数体系都存在相同的缺陷，不仅书写麻烦，且都没有现代的完备数体系中不可或缺的空位号数，——因为最小的物基数是“|”，用物基数与符号约定的方法造出的数体系，必然没有空位号数。

（图6）罗马数字

（图7）埃及数字

上述可见，用物基数与符号直接约定的方法并不能造出完备数体系，我们只能一方面用有限个符号按固定的组合规律，组合构造无限多有序且有规律的自然数序数系统；一方面采取强记住元序列号码的排列顺序以及各自指代的物基数的方法（譬如强记1～9十个符号在元序列中的位置以及这9个号码各自指代的物基数），通过对序数系统作指代解码和进制解码，读取序数系统各数位表征的物基数信息（元序列首位号不指代任何基数，仅指代“空位”）。这样才能构造出既能无限计数，又能作算术运算的完备数体系。

综上所述可见，“符号位置”只能产生序数系统，并不能直接产生数量属性的“数学对象”（物基数），夏皮罗依据冯诺依曼序数和策梅洛序数[4]，直接把序数符号3、9、12与它们各自表示的物基数划等号是错误的，用集合构造的冯诺依曼序数、策梅洛序数，并不能解释“数符号位置值”、“数符号组合”、“数符号指代”在自然数体系中的不可或缺性作用，不能解释多位数自然数表征的物基数是如何可能的。夏皮罗提出的“位置即对象”命题，虽然指出了自然数的部分自然性本质，但是论证、解释并不成功。

4.4.3、本构造论对数学虚构主义是批判的

由于数学实在论未能解构自然数体系的构造性，未能从认识论角度指出“虚构的自然数”表征的物基数的真实性所在，所以数的实在性受到了各方的质疑。形式主义对数的实在性的质疑集中反映于一句话:“任意大基数的实在性是无法想象的”[6]；艺术虚构主义则认为“数学对象类似于作家笔下虚构出来的作品，数学对象就像小说中的虚构人物”[7]；“自然数是我们虚构出来的用来计算的，真实存在着的是宇宙中的具体事物的数量性质和关系，我们虚构的自然数可以与这些真实的具体的事物的性质数量与关系相对应”[8]。上述可见，在虚构主义看来，自然数体系与艺术品无异，是无物理对应性的人脑的想象、虚构。

在本构造论看来，符号组合“虚构”的只是序数符号系统，“虚构”的序数系统与与元序列中的序数并不存在逻辑上的断裂，而是一脉相承的，“虚构”的序数系统表征的物基数与元序列中的基数是同样实在性的，每个序数系统表征的物基数都有其物理来路。譬如自然数“10000000802”，从符号组合角度看；这个数是从“01”开始组合，组合到第”一百亿零八百零二”次时所形成的组合型态；从进制角度看，这个数是号码机（见图4）从“00000000001”开始，在“N0”按钮上物理按压了“一百亿零八百零二”次（物基数）所形成的读数（序数），也是号码机个位上的滚轮滚动过的总次数。

综上分析可见，自然数体系并不是虚构主义以为的无物理对应的虚构体系。不仅自然数的基数是实在性的，由自然数运算产生的有理数也都是实在性的，负数、有限小数、无限循环小数等是物基数的逻辑化“变形”（限于篇幅，不再深入），并不是人脑的无逻辑虚构。

五、结束语

本文从自然基础（事实）、符号学、进制理论、认识论等多个角度，对自然数体系的物理实在性、逻辑实在性作出了实事求是的解析、论证，为数学的实在性、科学性作出了辩护。另外，本构造论提出的符号组合方法论，是一种独立于进制理论的自然数体系解释论，对于自然数本质的解释更直观、更深刻。

参考文献

[1]韩雪涛.数的故事[M].湖南:科学技术出版社，2014：p4、p5、p49

[2]柯资能.略谈易卦与二进位制——兼与魏安明先生商榷[J].自然科学史研究,2000(03):271-273.

[3]张西平.莱布尼茨和白晋关于二进制与《易经》的讨论[J].中国哲学史,2020(06):5-14.

[4]康仕慧,张汉静.数学本质的先物结构主义解释及困境[J].科学技术哲学研究,2013,30(05):11-18.

[5]叶峰.数学理论与虚构作品[J].科学技术哲学研究,2020,37(03):1-6.

[6]江怡.当代西方数学哲学中的实在论与反实在论[J].浙江学刊,2004(02):74-81.DOI:10.16235/j.cnki.33-1005/c.2004.02.008.

[7]康仕慧,郭贵春.论数学中的虚构主义[J].自然辩证法研究,2010,26(02):18-23.DOI:10.19484/j.cnki.1000-8934.2010.02.005.

[8]刘晓力，叶峰.当代数学哲学中的实在论与反实在论[R]，

[9]陈定学.自然数体系的符号学原理[Z].知乎，https://zhuanlan.zhihu.com/p/212770448.2020.9.2。

[10]陈定学.明确自然数符号体系的符号学原理及其意义[Z].知乎，https://zhuanlan.zhihu.com/p/308333325.2020.11.23。

——————

作者简介: 陈定学；男；安徽省合肥市人；数学、哲学爱好者。主要研究方向:数学基础、数学哲学。