树(Tree)
你有没有发现，“树”这种数据结构真的很像我们现实生活中的“树”，这里面每个元素我们叫作“节 点”;用来连线相邻节点之间的关系，我们叫作“父子关系”。 比如下面这幅图，A节点就是B节点的父节点，B节点是A节点的子节点。B、C、D这三个节点的父
节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的节点叫作根节点，也就是 图中的节点E。我们把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。
除此之外，关于“树”，还有三个比较相似的概念:高度(Height)、深 度(Depth)、层(Level)。它们的定义是这样的:
这三个概念的定义比较容易混淆，描述起来也比较空洞。我举个例子说明一下，你一看应该就能明 白。
“高度”这个概念，其实就是从下往上度量，比如我们要度量第10层楼的高度、第 13层楼的高度，起点都是地面。所以，树这种数据结构的高度也是一样，从最底层开始计数，并且 计数的起点是0。
“深度”这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中⻥的深度，是从水平面开始度量的。所以， 树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且计数起点也是0。
“层数”跟深度的计算类似，不过，计数起点是1，也就是说根节点的位于第1层。
二叉树(Binary Tree)
二叉树，顾名思义，每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。 不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节 点。我画的这几个都是二叉树。以此类推，你可以想象一下四叉树、八叉树⻓什么样子。
其中，编号2的二叉树中，叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子 节点，这种二叉树就叫作满二叉树。
编号3的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一 层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。 满二叉树很好理解，也很好识别，但是完全二叉树，有的人可能就分不清了。我画了几个完全二叉 树和非完全二叉树的例子，你可以对比着看看。
要理解完全二叉树定义的由来，我们需要先了解，如何表示(或者存储)一棵二叉树? 想要存储一棵二叉树，我们有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于 数组的顺序存储法。 我们先来看比较简单、直观的链式存储法。从图中你应该可以很清楚地看到，每个节点有三个字 段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左 右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这 种结构来实现的。
当我们讲到堆和堆排序的时候，你会发现，堆其实就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是数 组。
二叉树的遍历
前面我讲了二叉树的基本定义和存储方法，现在我们来看二叉树中非常重要的操作，二叉树的遍 历。这也是非常常⻅的面试题。 如何将所有节点都遍历打印出来呢?经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中， 前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。 前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它 的右子树。 中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的 右子树。 后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印 这个节点本身。
二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。
前序遍历的递推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
后序遍历的递推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
有了递推公式，代码写起来就简单多了，这是前序遍历的伪代码。
二叉树遍历的时间复杂度是多少？
可以看出来，每个节点最多会被访问两次，所以遍历操作的时间复杂度，跟节点的个数 n 成正比，也就是说二叉树遍历的时间复杂度是 O(n)。
解答开篇&内容小结 今天，我讲了一种非线性表数据结构，树。关于树，有几个比较常用的概念你需要掌握，那就是: 根节点、叶子节点、父节点、子节点、兄弟节点，还有节点的高度、深度、层数，以及树的高度。 我们平时最常用的树就是二叉树。二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节 点。二叉树中，有两种比较特殊的树，分别是满二叉树和完全二叉树。满二叉树又是完全二叉树的 一种特殊情况。 二叉树既可以用链式存储，也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树，其 他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外，二叉树里非常重要的操作就是前、 中、后序遍历操作，遍历的时间复杂度是O(n)，你需要理解并能用递归代码来实现。
给定一组数据，比如 1，3，5，6，9，10。请问可以构建出多少种不同的二叉树？
课后思考
给定一组数据，比如1，3，5，6，9，10。你来算算，可以构建出多少种不同的二叉树? 我们讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另外一种遍历方式，也就是按层遍 历，你知道如何实现吗?
答：卡特兰数，是C[n,2n] / (n+1)种形状，c是组合数，节点的不同又是一个全排列，一共就是n!*C[n,2n] / (n+1)个二叉树。可以通过数学归纳法推导得出。
本节讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另外一种遍历方式，也就是按层遍历，你知道如何实现吗？
答：层次遍历需要借助队列这样一个辅助数据结构。（其实也可以不用，这样就要自己手动去处理节点的关系，代码不太好理解，好处就是空间复杂度是o(1)。不过用队列比较好理解，缺点就是空间复杂度是o(n)）。根节点先入队列，然后队列不空，取出头元素，如果左孩子存在就入列队，否则什么也不做，右孩子同理。直到队列为空，则表示树层次遍历结束。树的层次遍历，其实也是一个广度优先的遍历算法。
