JS 0.1+0.2的理解

JS红皮书里面介绍浮点数值时有提到,0.1+0.2结果不是0.3,而是0.30000000000000004。对于非计算机专业的我而言,当时看到这句话一脸茫然。

为了解除心中的疑惑,在网上看了很多文章,才弄懂其中的原理,在这里记录下来。

  1. 对于计算机而言,两个数字在相加时是以二进制形式进行的,在呈现结果时才转换成十进制。JS中的数字是用IEEE 754 双精度 64 位浮点数来存储的,它由64位组成,这64位由3部分组成,(S:符号位,Exponent:指数域,Fraction:尾数域)。
    具体结构如下图:

2.十进制小数转换为二进制小数:用2乘十进制小数,可以得到积,将积的整数部分取出,再用2乘余下的小数部分,又得到一个积,再将积的整数部分取出,如此进行,直到积中的小数部分为零,此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。

如:0.7=(0.1 0110 0110...)B
0.7*2=1.4========取出整数部分1
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0

 // 0.1 转化为二进制
0.0 0011 0011 0011 0011...(0011无限循环)

// 0.2 转化为二进制
0.0011 0011 0011 0011 0011...(0011无限循环)

由于尾数只有52位,所以对于0.1和0.2转换后的二进制如下:

e = -4; m =1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)
e = -3; m =1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)

像十进制数有4舍5入的规则一样,二进制也存在类似的规则,简单的说,如果 1.101 
要保留一位小数,可能的值是 1.1 和 1.2,那么先看 1.101 和 1.1 或者 1.2 哪个值更
接近,毫无疑问是 1.1,于是答案是 1.1。那么如果要保留两位小数呢?很显然要么
是 1.10 要么是 1.11,而且又一样近,这时就要看这两个数哪个是偶数(末位是偶
数),保留偶数为答案。综上,如果第 52 bit 和 53 bit 都是 1,那么是要进位的。
这也导致了误差的产生。
  1. 我们看下这两个二进制相加
  e = -4; m = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)
+ e = -3; m = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 (52位)
---------------------------------------------------------------------------
相加时如果指数不一致,需要对齐,一般情况下是向右移,因为最右边的即使溢出了,损失的精度远远小于左边溢出。
  e = -3; m = 0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101 
+ e = -3; m = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
---------------------------------------------------------------------------
  e = -3; m = 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
---------------------------------------------------------------------------
  e = -2; m = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100(52位)
---------------------------------------------------------------------------
= 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
= 0.30000000000000004(十进制)

总结:我们可以看到,当十进制小数的二进制表示的有限数字超过 52 位时,在 JavaScript 里是不能精确存储的,这时候就存在舍入误差(Round-off error)。

参考:
JavaScript 中小数和大整数的精度丢失

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