矩阵范数
要满足四条性质：
- （正定性）
，
- （齐次性）
- （三角不等式）
- （相容性）
矩阵的算子范数
是根据某一个向量范数
诱导出来的，它等于
注意到
是非零标量，于是
其中
。
假设某种算子范数有定义（即对每一个
，都能确定唯一一个实数值，也就是max存在），我们现在证明它确实是一种矩阵范数
- 算子范数非负是显然的，因为对应的向量范数非负。当
，当且仅当
，都有
，根据向量范数知道，这当且仅当都有
，当且仅当
- 齐次性也是显然的
-
v%5C%7C_%5Cmathbb%7BV%7D)
，我们设其为v'%5C%7C_%5Cmathbb%7BV%7D)
，这意味着，都有v%5C%7C_%5Cmathbb%7BV%7D%5Cleqslant%20%5C%7C(A%2BB)v'%5C%7C_%5Cmathbb%7BV%7D)
。现在根据向量范数的三角不等式就有v'%5C%7C_%5Cmathbb%7BV%7D%5Cleqslant%5C%7CAv'%5C%7C_%5Cmathbb%7BV%7D%2B%5C%7CBv'%5C%7C_%5Cmathbb%7BV%7D)
然而注意到
（根据max的性质就可以得到此不等式），类似有
，于是三角不等式成立。
-
，我们同样令其为
，因为
，所以令
，我们就有
，基于和三角不等式性质证明的同样理由，我们有
，所以相容性成立。
