数列最初的样子

(1).数列是指按一定顺序或规律排列的一列数,而且这些数都是确定的,或许第n项你不知道而已。

(2).数列的项必须是数,他可以是实数也可以是复数,但不能是无穷∞,因为∞不是数。若数列的某项中存在∞则该项不应该存在于数列中,存在∞项也即非数列。除非把它(∞)排除在外,然后重排,从n=1开始。

(3).数列的项一般是从n=1开始的也即首项,一般形式可写成a1,a2,a3,...,an,an+1...,简记为{an},n为正整数,即n=1,2,3...。

数列一般形式

(4).数列不一定有通项公式,但有通项才使得数列能与函数联系起来。

(5).数列有界是指数列既有上界又有下界,即B<={an}<=M。

(6).数列收敛,即数列存在极限,收敛的性质:①唯一性(极限唯一),②有界性(数列有界),③保号性(若极限A>0,n→∞时,an>0)

(7).(收敛的充要条件)数列{an}所有子列均收敛于A,{an}所有子列即{a2n,a2n+1},又或{a3n,a3n+1,a3n+2}等等。

数列的非凡子列举例


(8).何为一个子列

1).给定数列,从中任意地选取无限项,按照原来的顺序组成的数列称为数列的一个子列

2).数列本身以及去掉有限项后得到的子列,称为平凡子列;不是平凡子列的子列称为非平凡子列。

数列的子列举例


3).子列定理,

①数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限。

②数列收敛的充分必要条件是:数列的任何非平凡子列都收敛,且收敛于同一值。

子列定理举例

字母文字:

lim(n→∞)an=A,

lim(n→∞)an+1=A,

lim(n→∞)an+2=A,

......

lim(n→∞)an=A⇔lim(n→∞)a2n=lim(n→∞)a2n+1=A

lim(n→∞)an=A⇔lim(n→∞)a3n=lim(n→∞)a3n+1=lim(n→∞)a3n+2=A

......

(9).单调有界数列必有极限,单调有界:①单调增有上界,②单调减有下界。证明就不证明了,可以想想何为数列,或许可以回到(1),(2),回到你心中数列最初的样子。

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