19 世纪早期法国数学家的理论从默默无闻逐渐成为工程基本语言的一部分。
1811 年，43 岁的法国伊泽尔区长官约瑟夫·傅立叶 (Joseph Fourier) 参加了法国科学院赞助的热研究竞赛。他提交的论文描述了一种我们今天称之为傅立叶变换的新型分析技术，并赢得了比赛；但评委会拒绝发表它，批评傅立叶的推理过于草率。据法国数学家、现任法国科学院院士 Jean-Pierre Kahane 称，直到 20 世纪 70 年代初，法国主要百科全书《万国百科全书》中仍未出现傅里叶的名字。
然而，现在他的名字无处不在。傅里叶变换是一种将信号分解为其组成频率的方法，它的各种版本用于生成和过滤手机和 Wi-Fi 传输，压缩音频、图像和视频文件以减少带宽占用，以及求解微分方程等。它无处不在，以至于“你不会真正研究傅里叶变换是什么”，麻省理工学院应用数学助理教授 Laurent Demanet 说。“你上了一门信号处理课，它就在那里。你别无选择。”
傅里叶变换有三种类型：普通的傅里叶变换、傅里叶级数和离散傅里叶变换。但离散傅里叶变换 (DFT) 才是傅里叶复兴的原因。1965 年，计算机科学家 James Cooley 和 John Tukey 描述了一种称为快速傅里叶变换的算法，该算法使在计算机上计算 DFT 变得更加容易。突然之间，DFT 成为处理数字信号的实用方法。
要了解 DFT 的作用，请考虑插入扬声器的 MP3 播放器。MP3 播放器以电信号电压波动的形式向扬声器发送音频信息。这些波动导致扬声器鼓振动，进而导致空气粒子移动，产生声音。
音频信号随时间的波动可以用图形表示：x 轴是时间，y 轴是电信号的电压，或者可能是扬声器鼓或空气粒子的运动。无论哪种方式，信号最终看起来都像不规则的波浪形曲线。但是，当你聆听由该曲线发出的声音时，你可以清楚地分辨出交响乐团中的所有乐器同时演奏的离散音符。
这是因为不规则曲线实际上是许多更规则的曲线的总和，这些曲线代表不同的声音频率。“频率”只是表示空气分子来回移动或电压波动的速率，它可以表示为规则曲线上下移动的速率。当你将两个频率相加时，产生的曲线在两个分量频率都上升时上升，在两个分量频率都下降时下降，在它们朝不同方向移动时介于两者之间。
DFT 在数学上所做的相当于人耳在物理上所做的：将信号分解为其分量频率。与来自唱片机的模拟信号不同，来自 MP3 播放器的数字信号只是一系列数字，每个数字代表曲线上的一个点。收集足够多的此类点，您便可以生成连续信号的合理副本：例如，CD 质量的数字音频录音每秒可收集 44,100 个样本。如果您从数字信号中提取一些连续值（8、128 或 1,000），DFT 会将它们表示为等量频率的加权和。（“加权”只是意味着某些频率比其他频率对总数更重要。）
DFT 在无线技术中的应用相当简单：例如，将信号分解为其组成频率的能力使手机信号塔能够解开来自不同用户的传输，从而允许更多用户共享空中信号。
数据压缩的应用不太直观。但是，如果你从图像中提取一个 8×8 像素块，那么每行或每列就只是八个数字的序列——就像一个有八个样本的数字信号。因此，整个块可以表示为 64 个频率的加权和。如果整个块的颜色变化很小，那么大多数频率的权重将为零或接近零。丢弃权重较低的频率允许用更少的位来表示块，但保真度损失很小。
Demanet 指出，DFT 在光谱学、磁共振成像和量子计算等领域有许多其他应用。但最终，他说，“很难解释傅里叶有什么样的影响”，因为傅里叶变换是一个如此基本的概念，以至于现在“它已经成为语言的一部分”。
