首先，拉格朗日乘子法和kkt条件都是解决数学中最优化问题的方法。什么时候会用到这种方法呢？
比如，求解函数%20%3D%20x%5E2-2x%20-1)
，直接求)
关于x的一阶导数，让一阶导数为0，便得到取最小值时的最优解为1。但要是x有限制条件呢？那么就会用到上面的两种方法。
一、限制条件为等式
%5C%5C%20g(x%2Cy)%3D0%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D)
这是一个有等式约束的优化问题，如果不借助其他工具是不是很难求解，尤其是)
或g(x,y)都比较复杂的情况下。拉格朗日乘子法将这个问题转化成了无约束问题，那么就可以用求偏导的方法去求解。拉格朗日函数为：
%3Df(x%2Cy)%2B%5Clambda%20g(x%2Cy)%20%5C%5C%20%5Clambda!%3D0)
求)
分别关于
的偏导(没有找到偏导符号，用d代替)：
%7D%7Bdx%7D%3D0%5C%5C%20%5Cfrac%20%7BdL(x%2Cy%2C%5Clambda)%7D%7Bdy%7D%3D0%5C%5C%20%5Cfrac%20%7BdL(x%2Cy%2C%5Clambda)%7D%7Bd%5Clambda%7D%3D0%5C%5C)
通过求解的偏导数为0，便可获得取极值时的最优解。
那么为什么这样做呢？即取极值时的最优解是否就是的最优解呢？其实在等式约束条件这里是非常容易理解的，因为的后半分)
恒等于0，那么自然和的最优解是一致的。
从另一个角度来看，下图是对原问题的几何描述，只有当和%3D0)
的切线重合的时候，原问题能够取得最优解。那么在切点的梯度有%3D%5Clambda%20%5CDelta%20g(x%2Cy))
那么限制条件为不等式呢？下面来看
二、限制条件为不等式
当最优解问题是：
%5C%5C%20g(x%2Cy)%3C%3D0%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D)
那么如果同样用拉格朗日函数将上述有约束问题化解为无约束问题，是否可以直接通过求分别关于的偏导，令偏导数为0来获得最优解呢？答案是不能。为什么不能呢？看下图就明白了：
上图中，的极值并没有落在切线上，这个时候%3C0)
，切点处的已经不是最优解了。
所以我们采用广义拉格朗日乘子法，先求关于乘子的最大，再求关于x,y的最小。原始问题的拉格朗日函数为：
%3Df(x%2Cy)%2B%5Clambda%20g(x%2Cy))
这个问题很难求解，所以想要将问题转化为原问题的对偶问题：
%3Df(x%2Cy)%2B%5Clambda%20g(x%2Cy))
那么原问题和对偶问题的解是否等价呢？
所以这里我们引入KKT条件，同时是原始问题和对偶问题的解的充分必要条件就是满足以下条件：
%7D%7Bd%7Bx%2Cy%2C%5Clambda%7D%7D%3D0)
%3D0)
%3C%3D0)
当满足上述的kkt条件时，对偶问题的解就是原始问题的解。当约束如图1所示，那么%3D0%EF%BC%8C%5Clambda%20%3E0)
；当约束如图2所示，实际上约束已经不起作用，那么%3C0%EF%BC%8C%5Clambda%20%3D0)
。
