摘自（《天文爱好者杂志》原创 远镜）

万有引力定律的发展

接上篇：月球理论——万有引力定律的第一次危机（上）

月球作为时钟

此处需补充一点历史背景。欧洲早已开启了大航海时代，但对于海上的船员来说，他们极其需要随时掌握所在位置的地理坐标，以避免迷失方向乃至意外触礁而遇难。纬度很容易测定，在北半球只需要观测北极星的高度即可；在南半球方法类似，虽然没有南极星，但可以利用星座确定南天极的位置。然而经度的测定却相当棘手，因为需要测定地方时间（以观测到太阳达到最高点为正午12点）与某个“绝对”时间（即某个经度已知地点的地方时间，比如格林威治时间）之差。前者容易通过观测太阳得知，后者在没有准确航海钟的时代，只能把天空作为时钟，通过观测特定的天象得出时间。例如，天文学家预报了月食发生的“绝对”时间，海上的船员记下月食发生的地方时间，通过两个时间之差就可以求船的经度。但日月食这样的天象过于罕见，为此天文学家提出“月距法”以达到类似的目的：由于月球在恒星之间沿着一条特定轨迹运行，通过测量月球与特定恒星的角距离，对照事先制作好的月球表格，再修正视差和大气折射等效应，就能得出“绝对”时间。

图1 月距法的基本思路为通过测量月球与某个恒星的距离，例如轩辕十四（Regulus），以测算时间。

早在15世纪末，意大利商人阿美利哥·维斯普西已经提出月距法测定经度的思想。1514年，德国天文学家约翰尼斯·沃纳正式发表了月距法。然而这一方法需要足够精确的海上测量仪器，还需要足够精确的星表以记录恒星在天空中的位置。更重要的是，要有一套完整的“月球理论“能够精确预测出月球的运行轨迹。由于月球相对于恒星背景的运行速度大约为每小时0.5度，这意味着，如果希望经度的误差小于1度，那么月球理论的误差必须小于2角分。这些技术在沃纳的时代看起来都遥不可及。

令牛顿头疼的问题

到了牛顿的时代，其他的技术难题逐渐得到解决，但月球运动仍然谜团重重。牛顿试图计算这个三体问题的近似解，以给出一套足够精确的月球理论，然而月球运动的复杂程度超出了他的能力范围（远远比各大行星要复杂！），它有着太多的“不规则性（irregularity）”，本文提到的近地点进动仅仅是其中一种（注：即便是“月球近地点每8.85年绕地球一圈”这一表述，也只是一种平均后的结果，实际上近地点还会有更复杂的摆动）。即使是在《原理》发表之后，牛顿于1694年前后再次回到这一课题，他从理论上推导出了几种“不规则”运动，又尝试根据观测数据改造他的数学模型，但他得出的模型与观测的偏差仍然达到了约10角分。据说牛顿曾回忆“自己从未如此头疼过”。牛顿最终于1702年发表了他的月球理论，读者不妨体会一下牛顿在其序言中写下的这段话，可以说沮丧之情溢于言表：

……月球作为一个离我们如此之近的星球，她的运动对我们如此有用，她的光和引力（潮汐主要就是由她引起的）对我们如此重要，但她的轨迹却如此难以捉摸，以至于任何关于她的椭圆轨道、掩食或合相的计算都是徒劳的（尽管现在的计算比以往都更精确），我常常会把这看作一种巨大的不幸。

牛顿在1694年前后完成的月球运动计算也标志着他那辉煌创造力的终结。此后牛顿虽然仍然有著作发表，但大多是总结早先已完成的工作。1713年《原理》第二版发表前，牛顿再次尝试修改他的月球理论，但无果而终。

图2 英国安妮女王统治期间颁布的经度法案。

1714年，英国颁布了经度法案，面向全世界悬赏测定经度的方法。在法案制定的过程中，已经71岁的牛顿作为专家前辈提供了许多意见，他评论了各种方法的可行性，包括钟表法——建造一个足够精确和稳定的航海钟以直接给出“绝对”时间，但他认为航海钟因为海上的湿度、温度变化和船只晃动等问题而难以制造，相比之下他仍然更看好天文方法，尤其是月距法。法案确立了专门的经度局作为评委，并且设立了经度奖金：对于能把经度测定到半度以内的人，奖励两万英镑！

1727年，牛顿在英国伦敦逝世，享年84岁。巨星陨落，除了给世人留下一笔宝贵的科学遗产，月球“难以捉摸的轨迹”以及神秘的近地点进动问题也留给了后世去解决。

万有引力定律错了吗？

历史的接力棒从英国传到了欧洲大陆。1747年，34岁的法国数学家克莱罗带着他的最新论文走进了法国科学院，宣布了一个颠覆性的想法——万有引力定律需要修正！克莱罗认为引力与距离平方成反比的定律不足以解释月球近地点进动的观测值，为此他提出对引力定律进行修改：在原来的基础上加入一个立方反比的修正项。

图3 法国数学家亚历克西斯·克莱罗（1713-1765）。

这个想法很快引发了巨大争议。但这里需要说明的是，克莱罗并非唯一对平方反比定律提出质疑的人。短短几个月前，更有影响力的瑞士数学家欧拉已经在柏林科学院的听众面前提出，有必要修正平方反比定律以解释月球近地点进动。在克莱罗宣读论文之前，欧拉在写给克莱罗的信中也提到“月球并不完全遵从牛顿的定律”。

图4 著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（1707-1783）。

从科学上说，修改后的引力定律会造成什么后果？修正项确实可以加快月球进动，但其他的引力现象——无论是地球公转还是苹果落地——是否还会遵循同样的定律？与欧拉不同，克莱罗坚持认为修改后的引力定律仍然是普适的，无论是哪种引力现象，引力本身都遵守同一个数学表达式。修正项虽然对地-月间的引力有较大影响，但对于距离更远的物体，比如日-地间的引力影响几乎为零，这样就保证了修改后的表达式仍然具有普遍性。但欧拉注意到了一个问题：水星由于距离太阳足够近，如果加入修正项，会造成与观测相悖的结果。

图5 法国数学家达朗贝尔（1717-1783）。

比克莱罗和欧拉稍晚，另一位法国数学家达朗贝尔也开始研究这一问题，与另外两人展开了竞争。达朗贝尔对是否要修正平方反比定律感到迟疑，不过他仍然考虑是有某种未知的磁力干扰了月球运动。但他非常小心谨慎，没有马上发表他的结果。

牛顿的胜利

历史很快就出现了转折。两年之后的1749年，克莱罗撤回了他的论文，并率先通过改进的计算方法证明，近地点进动问题完全可以在牛顿引力理论的框架内解决，无需引入修正项。在这之后，达朗贝尔也通过不同的数学方法得到了一致的结果。欧拉的经历则比较曲折：他先是得知了克莱罗的最新结论，但自己始终无法解决问题，便请求克莱罗告知具体的计算方法，然而没有得到回应。欧拉不愿再等，他向圣彼得堡科学院提议，将月球进动问题作为学院奖的题目，成功吸引了克莱罗向学院投稿，而欧拉作为这个奖项的评委之一就顺理成章拿到了克莱罗的论文。欧拉从中受到大量启发，改正了自己的计算，终于取得了一致的结果。

三位数学家的结果是：地球绕太阳的周期与月球近地点进动的周期之比为3/4·m+225/32·m2。与牛顿的结果相比，多了一个m的平方项。牛顿的结果对应太阳引力扰动的一阶效应，而这个平方项对应二阶效应——大致地说，太阳引力使得月球轨道产生进动（一阶效应），但这种进动反过来又影响了日-月相对位置变化的方式，从而改变了引力扰动的强度，使得进动进一步加强（二阶效应）（注：详见Gravitation-An Elementary Explanation of the Principal Perturbations in the Solar System，第80页第107节，George Airy著）。一般来说，二阶效应会比一阶效应小很多，但月球近地点进动是个特例，其二阶效应达到了一阶效应的70%。推而广之，还有三阶乃至更高阶效应，考虑的阶数越高，结果越精确，但工作量也会大幅增加，可能要耗费数年甚至一生时间才能完成。（注：1860年和1867年，Charles Delaunay发表了一个七阶的月球理论，该理论还考虑了部分八阶和九阶效应，精度达到了1角秒，整个工作耗时20年。）

三位数学家考虑了一阶至二阶效应，得出近地点进动周期为10.5年，与观测值8.85年仍然有一定偏差，但比起牛顿的结果已经有很大进步。更重要的是，这个结果让所有人都相信牛顿万有引力定律足以解决月球运动的所有难题，这反而加强了人们对万有引力定律的信心。至此，令牛顿头疼的问题最终变成了牛顿的胜利。

月距法：从成熟到衰落

之后几年，三位数学家相继发表了更完整的月球理论，包括相关的月球位置表格以应用于航海。欧拉甚至还在1772年发表了他的第二个月球理论。但那个时代最好的月球表格却是由德国天文学家托拜厄斯·迈耶于1752年制成的。然而迈耶不幸早逝，他的结果由英国皇家天文官内维尔·马斯基林改进后应用于从1766年开始出版的《航海年鉴和天文星历》。迈耶的数学模型不仅用到了欧拉的月球理论（迈耶与欧拉有过多年通信往来），而且还结合了大量实际观测数据，其精度达到了1角分，对应月距法测量经度的误差为半度，正好达到了领取两万奖金所需的精度！至此，月距法在提出两百多年后终于走向成熟，可以应用于实际航海中了。

图6 英国1766年发行的《航海年鉴和天文星历》中的月球表格。这一页的表格预测了1767年4月不同时间月球到太阳以及其他亮星的角距离，这些预测值对于在海上用月距法测量经度至关重要。

但这笔奖金最终颁给了另一个人——英国的天才钟表匠约翰·哈里森。哈里森几乎是孤身奋战攻克了所有技术难关，通过一系列精巧的设计，使温度和湿度变化以及船只晃动产生的干扰自相抵消，成功解决了海上钟表不稳定的问题。哈里森于1727年开始研制第一个航海钟，用一生的时间不断改进，到1759年制作完成了第四个（这时已经从“钟”缩小到“表”了），成功把每天的计时误差降到一秒以内。几年后，航海表通过了经度局的航海测试，终于为哈里森赢得了那笔巨额奖金——不过因为种种原因，经度局专家及其他科学家认为哈里森的航海表难以复制，他的奖金被“克扣”了一半，不过后来得到了英国国会的补偿。

图7 英国钟表匠约翰·哈里森（1693-1776），航海计时器的发明者，被誉为“解决了经度难题的人”。

实际上，在18世纪末至19世纪前半叶，钟表法与月距法处于相互竞争的状态。海上的船员会同时使用两种方法，因为它们各有优劣：月距法成本低廉，而且看上去更“安全”；至于钟表法，谁都担心精密又昂贵的航海表万一在海上损坏了怎么办。然而月距法的计算十分繁琐，因为需要修正大气折射和视差效应，每次计算都需要近四个小时，虽然后来随着算法改进得到了大幅简化，但相比之下，钟表法只不过是需要每天上发条而已。此外，在天气不好的时候或者新月前后几天无法观测月球，钟表法是唯一的选择。到了19世纪中叶，由哈里森首创的航海表逐渐实现了量产，月距法被钟表法取代了。

图8 哈里森制作的航海钟H1。哈里森发明航海钟之后一直在不断改进，一生共制作了五个航海钟表（H1到H5）。早期的航海钟H1（完成于1735年）较大，宽度为70厘米。从H4开始，哈里森放弃了大型钟的方案，转而制作小巧的航海表，H4的直径只有13厘米（完成于1759年）。

遗    产

科学的探索并未因此而终结。求解三体问题乃至多体问题的微扰法在拉格朗日、拉普拉斯等几代数学家的手下有了长足发展，能够更精确地计算太阳系中种种复杂的天体力学现象，并在1846年迎来了高潮——海王星的发现。这个故事远比月球理论更为有名：天文台已经观测到天王星的运行轨迹与预测值有偏差，两位数学家亚当斯和勒维耶提出这种偏差是由未知的第八颗行星的引力扰动造成的，并通过计算预测了第八颗行星的位置，终于被观测确认，由此，海王星被称为“笔尖上发现的行星”。但海王星的发现与月球理论的物理本质是一样的，都是求解二体问题（前者是天王星绕太阳转，后者是月球绕地球转）加上其他天体（前者是海王星，后者是太阳）引力扰动下的复杂运动。

图9 火星、木星、土星、天王星、海王星轨道示意图。

直到今天，天文学家仍然在用微扰法计算三星系统、超大质量黑洞周围的双星系统以及系外行星系统等种种三体或多体问题。2019年诺贝尔物理学奖金的一半颁给了瑞士天文学家米歇尔·马约尔（Michel Mayor）和迪迪埃·奎洛兹（Didier Queloz），表彰他们“发现了第一颗围绕类太阳恒星运行的系外行星”。与太阳系中的行星系统不同，系外行星的世界极大地拓宽了人类的视野。例如，太阳系八颗行星都是在几乎同一个平面上运行的，不同行星之间轨道倾角非常小，同时，每个行星的轨道都非常接近圆形。但有些系外行星的轨道具有极大的倾角和非常高的偏心率（即轨道是个非常扁的椭圆）。

图10  系外行星HD 80606 b处在一个非常高偏心率的轨道上。该行星系统的主恒星与太阳非常相似（质量是太阳的98%），然而行星的轨道偏心率高达0.93，行星与主恒星的距离最大为0.88AU，最小只有0.03AU——不到水星与太阳距离的十分之一。它的轨道周期为111天，质量约为木星的四倍。另外有观测表明，该行星的轨道平面与主恒星自转平面有较大夹角（约40度或更大），这也非常不同于太阳系的情况。

传统的微扰法能解决太阳系内的情况，却在系外行星的大观园里碰了壁。为此，科学家采用并推广了1962年由前苏联天文学家米哈伊尔·利多夫（Michael Lidov）和日本天文学家古在由秀提出的新方法，适用于具有任意的轨道倾角和偏心率的等级化三体系统。此外，随着计算机技术的进步，计算机数值模拟如今也成为了研究多体问题的一种极为重要的研究方法，与“推公式”（即所谓“解析计算”）的传统数学方法之间相辅相成，共同推动着天文学的发展。