3. 平均值，标准差，期望: 期望

期望值

让我们回到平均值那里，看看平均值的公式

$\bar{x}=\frac{\sum{x}}{n}$

而 $\sum{x}$ 除了简单的 $x_1, x_2, ... ,x_n$ 所有数据加起来以外，还可以先数一下，这一组数据里面有几个数据和 $x_1$ 一样，有几个数据和 $x_2$ 一样，比如说上面n个数据里面，实际上包含了 $f_1$ 个 $x_1$ , $f_2$ 个 $x_2$ , ... $f_k$ 个 $x_k$ ，那算总和的时候还可以这么算

$\sum{x}=x_1*f_1+x_2*f_2+...+x_k*f_k$ （3.1）

注：这里先考虑变量是离散的形式，比如说x只能是0到100之间的正整数。对于连续性的变量，计算频数往往需要把数据分布的区间划分成多个等间距的小格子。

看回平均值那里的数据：2，4，5，8，2，3，5，6，8，2，根据（3.1），有：

$\sum{x}=2*3+3*1+4*1+5*2+6*1+8*2$

于是平均值可以用下面这种形式计算：

$\frac{\sum{x}}{n}=2*\frac{3}{10}+3*\frac{1}{10}+4*\frac{1}{10}+5*\frac{2}{10}+6*\frac{1}{10}+8*\frac{2}{10}$

所以从上面的式子可以看到, 当我们把求和从原来的形式改成 $\sum{x_i*freq_i}$ 的形式的时候 ( $freq_i$ 是 $x_i$ 的频率), 除以总项数(n), 就可以把均值的公式变成 $\bar{x}=\sum{x*\frac{freq}{n}}$ , 而其中这个 $\frac{freq}{n}$ 又是什么呢?

再看一下2，4，5，8，2，3，5，6，8，2这个数据，假如现在我从这10个数字里随机抽1个，10个数字都同样可能被抽到，抽完以后我们会把数字放回去，所以每次抽数字的操作之间互相不会有影响。那么，现在我抽到2的机会有多大？是不是 $\frac{3}{10}=0.3$ 呢？同样的，抽到4的概率是 $\frac{1}{10}$ ，而抽到8的概率是 $\frac{2}{10}$ 。所以呢：

$\bar{x}=\sum{x*\frac{freq}{n}}=\sum{x*p(x)}$

其中 $p(x)$ 是x的概率。而 $\sum{x*p(x)}$ 也就是X的期望 $E(X)$ 的计算公式。

所以期望是什么呢？如果你已经知道了X的可能取值的分布情况（比如在我们这个例子里，2有3个，3有1个，4有1个，5有2个，6有1个，8有2个；或者对于一个正态分布的X，95%的X都分布在均值 $\mu$ 两侧 $1.96\sigma$ 的范围里面），那么这个时候你就可以计算出按照出现的概率加权以后，X应该是一个什么值。而这个值也就是总体的均值。其实这句话应该反过来说，总体的均值是X所有可能的取值对这个值的概率加权和。

$E(X)=\sum{xp(x)}=\mu$ （3.2）

期望值的性质

$E(X+Y)=\sum{(xp(x)+yp(y))}=\sum{xp(x)}+\sum{yp(y)}=E(X)+E(Y)$ （3.3）

而对于 $E(XY)$ ，情况就会复杂一些，但是对于相互独立的X和Y，我们可以有

$E(XY)=E(X)E(Y)$ , 当X和Y相互独立（3.4）

本篇内容来源以下两个视频
Expected value and variance of discrete random variables
Expected value and variance of discrete random variables 2

最后编辑于：2019.03.20 13:02:22