Author: zfs
-
非空有上界的数集，必有上确界
-
非空有下界的数集，必有下确界
概念补充：
[x]:
x的整数部分
(x):x的小数部分
:
整数集
:
实数集
:
自然数集
:
对于任意的，对于每一个
:
存在，可以找到
:
元素属于某个集合
:
元素不属于某个集合
:
集合的包含关系
上界: 集合
,
上确界: 设是
=
，称为
为
证：对于集合属于，有上界，则必有上确界（确界存在定理，下确界类似）
我们知
,
=[
]+(
)(
由整数部分和其小数部分组成)
记=[
],
=(
)
说明：
-
,使其成为无限小数
-
=
(,由
=
)
Start:
- 取集合
,记
={
的整数部分为
}
有,则
- 取集合
,记
={
的第一位小数为
}
有,则
- 取集合
,记
={
的第二位小数为
}
有,则
…… - 取集合
,记
中小数第
位最大值为
={
的第
}
有,则
进行下去……
有
取=
()
则所取即为
上确界。
证：为上确界
1）：证为
上界,即
2）：证为
上确界，即
证 1）:
对于，则
或者
- [1]对于
则 - [2]对于
有,则
由[1]、[2] 证毕1)
证 2）:
当取定时，有
取
则
即
由上证毕2）
End;
综上，上确界存在定理得证。（下确界同法）
之所以确界存在定理又称之为实数系连续性定理:
若实数系不连续，则在数轴上会有一段间隙，有间隙即存在长度,有长度即存在
,使得
,间隙左侧数集没有上确界，间隙右侧数集没有下确界，与确界存在定理矛盾，即实数系是连续的。
