高等代数理论基础80：若尔当标准形的几何理论(3)

若尔当标准形的几何理论(3)

易知复方阵的若尔当标准形的存在与唯一性

给定复 $n\times n$ 方阵B,找矩阵 $T$ 使 $T^{-1}BT$ 称为若尔当标准形

等同于对给定线性变换 $\mathscr{A}$ ,找一组基使 $\mathscr{A}$ 在这组基下矩阵成为若尔当标准形

计算步骤

1.取任意n维复线性空间V及它的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,作线性变换 $\mathscr{A}$ 使它在该基下矩阵为B,即有 $\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)B$ ,令 $A=B'$ ,则有

$\mathscr{A}\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

或 $(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

2.找可逆 $\lambda$ -矩阵 $P(\lambda),Q(\lambda)$ ,使得

$P(\lambda)(\lambda E-A)Q(\lambda)=\begin{pmatrix}h_1(\lambda)\\&h_2(\lambda)\\& &\ddots\\& & &h_n(\lambda)\end{pmatrix}$
其中设 $h_1(\lambda),\cdots,h_s(\lambda)$ 是 $\{h_i(\lambda),1\le i\le n\}$ 中全部非常数多项式,且不妨设所有的 $h_i(\lambda)$ 首项系数为1

则 $h_{s+1}(\lambda)=\cdots=h_n(\lambda)=1$

令 $\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

则 $\eta_i$ 的最小多项式为 $h_i(\lambda)$

$h_{s+1}(\mathscr{A})=\cdots=h_n(\mathscr{A})=\mathscr{E}$

$\mathscr{E}\eta_{s+1}=\mathscr{E}\eta_{s+2}=\cdots=\mathscr{E}\eta_n=0$

又 $h_1(\lambda),h_2(\lambda),\cdots,h_s(\lambda)$ 非常数

分别为 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s$ 的最小多项式

故 $\mathscr{E}\eta_1\neq 0,\cdots,\mathscr{E}\eta_s\neq 0$

有 $V=P[\mathscr{A}]\eta_1\oplus\cdots\oplus P[\mathscr{A}]\eta_s$

3.分解各 $P[\mathscr{A}]\eta_i$

设 $\eta_i$ 的最小多项式 $h_i(\lambda)$ 有分解 $h_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{l_1}\cdots(\lambda-\lambda_t)^{l_t}$

$\lambda_i$ 为各不相同的复数

令 $m_i(\lambda)={h_i(\lambda)\over (\lambda-\lambda_i)^{l_i}},\xi_{ij}=m_j(\mathscr{A})\eta_i,j=1,2,\cdots,t$

$P[\mathscr{A}]\eta_i=P[\mathscr{A}]\xi_{i1}\oplus\cdots\oplus P[\mathscr{A}]\xi_{it}$

且 $\xi_{it}$ 的最小多项式为 $(\lambda-\lambda_j)^{l_j},j=1,2,\cdots,t$

4.对每个 $\xi_{ij}$ ,作 $P[\mathscr{A}]\xi_{ij}$ 的基 $\xi_{ij},(\mathscr{A}-\lambda_j\mathscr{E})\xi_{ij},\cdots,(\mathscr{A}-\lambda_j\mathscr{E})^{l_j-1}\xi_{ij}$

则 $\mathscr{A}|_{p[\mathscr{A}]\xi_{ij}}$ 在这组基下矩阵为若尔当块 $J(\lambda_j,l_i)$

对每个 $P[\mathscr{A}]\xi_{ij}$ 这样做,则将所有 $P[\mathscr{A}]\xi_{ij}$ 作出的基合起来即V的基

在该组基下, $\mathscr{A}$ 的矩阵 $J$ 即它的若尔当标准形

5.以上步骤中各 $\eta_i$ 可具体计算, $\xi_{ij}$ 也可计算

故 $P[\mathscr{A}]\xi_{ij}$ 的基 $\xi_{ij},(\mathscr{A}-\lambda_j\mathscr{E})\xi_{ij},\cdots,(\mathscr{A}-\lambda_j\mathscr{E})^{l_j-1}\xi_{ij}$ 及V的使 $\mathscr{A}$ 对角化的矩阵或若尔当标准形J的新基为 $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)T$

$\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 及新基下的矩阵分别为 $B$ 及 $J$

则 $J=T^{-1}BT$ ,同时也得到所要的相似变换

例：对矩阵 $B=\begin{pmatrix}0&-1&2\\3&7&-14\\3&6&-10\end{pmatrix}$

求T,使 $T^{-1}BT$ 为若尔当标准形

解：

1.化成线性变换问题

取三维复线性空间V及它的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$

作 $\mathscr{A}$ 使 $\mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)B$

令 $A=B'$ ,则

$\mathscr{A}\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3&3\\-&8&6\\2&-14&-10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\end{pmatrix}$

2.化 $\lambda E-A$ 为对角形

可作多次初等变换

$\lambda E-A=\begin{pmatrix}\lambda&-3&-3\\ 1&\lambda-8&-6\\ -2&14&\lambda+10\end{pmatrix}$

$\xrightarrow{行变换}\begin{pmatrix}1&\lambda-8&-6\\ \lambda&-3&-3\\ -2&14&\lambda+10\end{pmatrix}$

$\xrightarrow{行变换}\begin{pmatrix}1&\lambda-8&-6\\ 0&-3-(\lambda-8)\lambda&-3+6\lambda\\ 0&14+2(\lambda-8)&\lambda+10-12\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}1&\lambda-8&-6\\ 0&-\lambda^2+8\lambda-3&-3+6\lambda\\ 0&2\lambda-2&\lambda-2\end{pmatrix}$

$\xrightarrow[\begin{pmatrix}1&-(\lambda-8)&6\\0&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}]{右乘}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-\lambda^2+8\lambda-3&-3+6\lambda\\ 0&2\lambda-2&\lambda-2\end{pmatrix}$

$\xrightarrow[\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}]{右乘}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-\lambda(\lambda-2)&6\lambda-3\\ 0&\lambda&\lambda-2\end{pmatrix}$

$\xrightarrow{行变换}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\lambda&\lambda-2\\ 0&0&\lambda^2+2\lambda+1\end{pmatrix}$

$\xrightarrow{行变换}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&{1\over 2}\lambda&{1\over 2}\lambda-1\\ 0&0&(\lambda+1)^2\end{pmatrix}$

$\xrightarrow[\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-1&1\end{pmatrix}]{右乘}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&{1\over 2}\lambda-1\\ 0&-(\lambda+1)^2&(\lambda+1)^2\end{pmatrix}$

$\xrightarrow[\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&-({1\over 2}\lambda-1)\\ 0&0&1\end{pmatrix}]{右乘}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-(\lambda+1)^2&{1\over 2}(\lambda+1)^2\lambda\end{pmatrix}$

$\xrightarrow{行变换}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&\lambda(\lambda+1)^2\end{pmatrix}$

可得

$Q(\lambda)=\begin{pmatrix}1&-(\lambda-8)&6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}^2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-({1\over 2}\lambda-1)\\0&0&1\end{pmatrix}$

$Q^{-1}(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&{1\over 2}\lambda-1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}^2\begin{pmatrix}1&\lambda-8&-6\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}1&\lambda-8&-6\\0&\lambda-1&{1\over 2}\lambda-1\\0&2&1\end{pmatrix}$

且 $\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\eta_3\end{pmatrix}=Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\varepsilon_3\end{pmatrix}$

由于 $\eta_1,\eta_2$ 的零化多项式为1

故 $\eta_1=\eta_2=0$ , $\eta_3=2\varepsilon_2+\varepsilon_3$

$\therefore V=P[\mathscr{A}\eta_3]=P[\mathscr{A}](2\varepsilon_2+\varepsilon_3)$

3.继续分解 $P[\mathscr{A}](2\varepsilon_2+\varepsilon_3)$

$\eta_3$ 的最小多项式为 $\lambda(\lambda+1)^2$

令 $P[\mathscr{A}]\eta_3=P[\mathscr{A}]\eta_1'\oplus P[\mathscr{A}]\eta_2'$

则 $\eta_1'=(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2\eta_3,\eta_2'=\mathscr{A}\eta_3$

它们的最小多项式分别为 $\lambda$ 及 $(\lambda+1)^2$

$\eta_1'=(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2(2\varepsilon_2+\varepsilon_3)=2(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2\varepsilon_2+(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2\varepsilon_3$

$(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2$ 在 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ 下的左矩阵为

$\begin{pmatrix}1&3&3\\-1&9&6\\2&-14&-9\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}*&*&*\\2&-6&-3\\-2&6&3\end{pmatrix}$

故 $\eta_1'=2(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2\varepsilon_2+(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2\varepsilon_3$

$=2(2\varepsilon_1+6\varepsilon_2-3\varepsilon_3)+(-2\varepsilon_2+6\varepsilon_2+3\varepsilon_3)$

$=2\varepsilon_1-6\varepsilon_2-3\varepsilon_3$

$P[\mathscr{A}]\eta_1'$ 是1维的,基就是 $\eta_1'$

且 $\mathscr{A}\eta_1'=0$

$\mathscr{A}|_{P[\mathscr{A}]\eta_1'}$ 在 $\eta_1'$ 下的矩阵是一级矩阵 $(0)$

$\eta_2'$ 的最小多项式为 $(\lambda+1)^2$

$\eta_2'=\mathscr{A}\eta_3=\mathscr{A}(2\varepsilon_2+\varepsilon_3)$

$=2\mathscr{A}\varepsilon_2+\mathscr{A}\varepsilon_3$

故 $\eta_2'=2\mathscr{A}\varepsilon_2+\mathscr{A}\varepsilon_3$

$=2(-\varepsilon_2+8\varepsilon_2+6\varepsilon_3)+2\varepsilon_1-14\varepsilon_2-10\varepsilon_3$

$=2\varepsilon_2+2\varepsilon_3$

$P[\mathscr{A}]\eta_2'$ 是2维的, $\eta_2'$ 的最小多项式为 $(\lambda+1)^2$

则它的基为 $\eta_2'=2(\varepsilon_2+\varepsilon_3)$

$\eta_3'=(\mathscr{A}+\mathscr{E})\eta_2'=2(\mathscr{A}\varepsilon_2+\mathscr{A}\varepsilon_3+\varepsilon_2+\varepsilon_3)$

故 $\eta_3'=2\varepsilon_1-10\varepsilon_2-6\varepsilon_3$

又 $(\mathscr{A}+\mathscr{E})\eta_3'=(\mathscr{A}+\mathscr{E})^2\eta_2'=0$

故 $\mathscr{A}|_{P[\mathscr{A}\eta_2']}$ 在基 $\eta_2',\eta_3'$ 下的矩阵为 $J(-1,2)$

最后 $\mathscr{A}$ 在基 $\eta_1',\eta_2',\eta_3'$ 下的矩阵为

$J=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}$

基变换

$(\eta_1',\eta_2',\eta_3')=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)T=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\begin{pmatrix}2&0&2\\-6&2&-10\\-3&2&-6\end{pmatrix}$

相似变换为 $J=T^{-1}BT$

即

$\begin{pmatrix}2&0&2\\-6&2&-10\\-3&2&-6\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0^-1&2\\3&8&-14\\3&6&-10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&2\\-6&2&-10\\-3&2&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}$

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