大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 数学分析一第2次月考
授课院 (系)： 数学学院 考试日期：2018年12月 试卷共 6 页
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
标准分
45
9
9
9
9
10
9
/
/
/
100
得 分
计算与简答题，请简要说明理由（每小题5分，共45分）。
设，求。
证明：当时，有。
判断：若，则。
求极限。
求在的展式，要求展到。
求不定积分。
证明：当时，有。
设，求高阶导数。
设，，均是的函数，求关于的微分。
（9分）求在上的极值点与极值，在上的最大和最小值。
（9分）设存在，令，。求极限。
（9分）设，问在是否有二阶导数，为什么？
（9分）设是上可导的凸函数，且。证明：若，则是的最小值点。
（10分）设在上有二阶导数，，，令，问为何值时在上连续？此时在上是否可导？
（9分）设在上有二阶导数，。证明：对任意的，有。
答案
一、简答题
1、求导后代数，注意求和项中只有一项非零，结果为。
2、可直接做差，利用导数的正负号得到原函数的单调性，也可化简后再证明。
3、不成立，典型例子是，，也可举其它适宜的例子。4、等价无穷小替换后再用洛必达法则，，也可变量替换后再等价无穷小替换，或直接用洛必达法则，结果为0。
5、分子分母同乘以后展开，也可直接展开，有，或者6、换元法，结果为。
7、左边减右边定义为函数，证明，再证明。参看书上例题3.4节例5。
8、注意，因此。
9、利用微分的形式不变性，结果为。
二、求导，驻点和不可导点计算出来，利用单调性可知是极小值点，无其它极值点，注意需要判别是否是极值点。再计算这些点的函数值以及，比较可知最大值为，最小值为。
三、用导数的定义或泰勒展式估计的大小。比如用泰勒展式有，对求和有，取极限可知。可参考问题3.2的第一题。
四、先求一阶导数再看二阶导数是否存在，注意零点导数须用定义，由此得到，继续用定义证明不存在。
五、首先连续有最小值。凸函数意味着导数递增，由此知道时，而时，因此由的单调性可知结论成立。
六、先由连续可得，再用定义求出注意只能用一次洛必达，不能用第二次洛必达法则（为什么）。由此得到，然后用连续的定义，注意求极限时还是不能用洛必达法则，可以用泰勒展式，有
，因此在连续。在别的点自然连续。
七、参考书上定理4.3.2的证明，要会用余项的泰勒展开做估计。
