前言
八大排序，三大查找是《数据结构》当中非常基础的知识点，在这里为了复习顺带总结了一下常见的八种排序算法。
常见的八大排序算法，他们之间关系如下：
排序算法.png
他们的性能比较：
性能比较.png
下面，利用Python分别将他们进行实现。
直接插入排序
- 算法思想：
直接插入排序.gif
直接插入排序的核心思想就是：将数组中的所有元素依次跟前面已经排好的元素相比较，如果选择的元素比已排序的元素小，则交换，直到全部元素都比较过。
因此，从上面的描述中我们可以发现，直接插入排序可以用两个循环完成：
- 第一层循环：遍历待比较的所有数组元素
- 第二层循环：将本轮选择的元素(selected)与已经排好序的元素(ordered)相比较。
如果：selected > ordered，那么将二者交换
- 代码实现
#直接插入排序
def insert_sort(L):
#遍历数组中的所有元素，其中0号索引元素默认已排序，因此从1开始
for x in range(1,len(L)):
#将该元素与已排序好的前序数组依次比较，如果该元素小，则交换
#range(x-1,-1,-1):从x-1倒序循环到0
for i in range(x-1,-1,-1):
#判断：如果符合条件则交换
if L[i] > L[i+1]:
temp = L[i+1]
L[i+1] = L[i]
L[i] = temp
希尔排序
- 算法思想：
希尔排序.png
希尔排序的算法思想：将待排序数组按照步长gap进行分组，然后将每组的元素利用直接插入排序的方法进行排序；每次将gap折半减小，循环上述操作；当gap=1时，利用直接插入，完成排序。
同样的：从上面的描述中我们可以发现：希尔排序的总体实现应该由三个循环完成：
- 第一层循环：将gap依次折半，对序列进行分组，直到gap=1
- 第二、三层循环：也即直接插入排序所需要的两次循环。具体描述见上。
- 代码实现：
#希尔排序
def insert_shell(L):
#初始化gap值，此处利用序列长度的一般为其赋值
gap = (int)(len(L)/2)
#第一层循环：依次改变gap值对列表进行分组
while (gap >= 1):
#下面：利用直接插入排序的思想对分组数据进行排序
#range(gap,len(L)):从gap开始
for x in range(gap,len(L)):
#range(x-gap,-1,-gap):从x-gap开始与选定元素开始倒序比较，每个比较元素之间间隔gap
for i in range(x-gap,-1,-gap):
#如果该组当中两个元素满足交换条件，则进行交换
if L[i] > L[i+gap]:
temp = L[i+gap]
L[i+gap] = L[i]
L[i] =temp
#while循环条件折半
gap = (int)(gap/2)
简单选择排序
- 算法思想
简单选择排序.gif
简单选择排序的基本思想：比较+交换。
- 从待排序序列中，找到关键字最小的元素；
- 如果最小元素不是待排序序列的第一个元素，将其和第一个元素互换；
- 从余下的 N - 1 个元素中，找出关键字最小的元素，重复(1)、(2)步，直到排序结束。
因此我们可以发现，简单选择排序也是通过两层循环实现。
第一层循环：依次遍历序列当中的每一个元素
第二层循环：将遍历得到的当前元素依次与余下的元素进行比较，符合最小元素的条件，则交换。
- 代码实现
# 简单选择排序
def select_sort(L):
#依次遍历序列中的每一个元素
for x in range(0,len(L)):
#将当前位置的元素定义此轮循环当中的最小值
minimum = L[x]
#将该元素与剩下的元素依次比较寻找最小元素
for i in range(x+1,len(L)):
if L[i] < minimum:
temp = L[i];
L[i] = minimum;
minimum = temp
#将比较后得到的真正的最小值赋值给当前位置
L[x] = minimum
堆排序
堆的概念
堆：本质是一种数组对象。特别重要的一点性质：<b>任意的叶子节点小于（或大于）它所有的父节点</b>。对此，又分为大顶堆和小顶堆，大顶堆要求节点的元素都要大于其孩子，小顶堆要求节点元素都小于其左右孩子，两者对左右孩子的大小关系不做任何要求。
利用堆排序，就是基于大顶堆或者小顶堆的一种排序方法。下面，我们通过大顶堆来实现。-
基本思想：
堆排序可以按照以下步骤来完成：-
首先将序列构建称为大顶堆；
（这样满足了大顶堆那条性质：位于根节点的元素一定是当前序列的最大值）
构建大顶堆.png - 取出当前大顶堆的根节点，将其与序列末尾元素进行交换；
（此时：序列末尾的元素为已排序的最大值；由于交换了元素，当前位于根节点的堆并不一定满足大顶堆的性质） -
对交换后的n-1个序列元素进行调整，使其满足大顶堆的性质；
Paste_Image.png - 重复2.3步骤，直至堆中只有1个元素为止
-
代码实现：
#-------------------------堆排序--------------------------------
#**********获取左右叶子节点**********
def LEFT(i):
return 2*i + 1
def RIGHT(i):
return 2*i + 2
#********** 调整大顶堆 **********
#L:待调整序列 length: 序列长度 i:需要调整的结点
def adjust_max_heap(L,length,i):
#定义一个int值保存当前序列最大值的下标
largest = i
#执行循环操作：两个任务：1 寻找最大值的下标；2.最大值与父节点交换
while (1):
#获得序列左右叶子节点的下标
left,right = LEFT(i),RIGHT(i)
#当左叶子节点的下标小于序列长度 并且 左叶子节点的值大于父节点时，将左叶子节点的下标赋值给largest
if (left < length) and (L[left] > L[i]):
largest = left
print('左叶子节点')
else:
largest = i
#当右叶子节点的下标小于序列长度 并且 右叶子节点的值大于父节点时，将右叶子节点的下标值赋值给largest
if (right < length) and (L[right] > L[largest]):
largest = right
print('右叶子节点')
#如果largest不等于i 说明当前的父节点不是最大值，需要交换值
if (largest != i):
temp = L[i]
L[i] = L[largest]
L[largest] = temp
i = largest
print(largest)
continue
else:
break
#********** 建立大顶堆 **********
def build_max_heap(L):
length = len(L)
for x in range((int)((length-1)/2),-1,-1):
adjust_max_heap(L,length,x)
#********** 堆排序 **********
def heap_sort(L):
#先建立大顶堆，保证最大值位于根节点；并且父节点的值大于叶子结点
build_max_heap(L)
#i：当前堆中序列的长度.初始化为序列的长度
i = len(L)
#执行循环：1. 每次取出堆顶元素置于序列的最后(len-1,len-2,len-3...)
# 2. 调整堆，使其继续满足大顶堆的性质，注意实时修改堆中序列的长度
while (i > 0):
temp = L[i-1]
L[i-1] = L[0]
L[0] = temp
#堆中序列长度减1
i = i-1
#调整大顶堆
adjust_max_heap(L,i,0)
冒泡排序
-
基本思想
冒泡排序.gif
冒泡排序思路比较简单：
- 将序列当中的左右元素，依次比较，保证右边的元素始终大于左边的元素；
（ 第一轮结束后，序列最后一个元素一定是当前序列的最大值；） - 对序列当中剩下的n-1个元素再次执行步骤1。
- 对于长度为n的序列，一共需要执行n-1轮比较
（利用while循环可以减少执行次数）
- 将序列当中的左右元素，依次比较，保证右边的元素始终大于左边的元素；
*代码实现
#冒泡排序
def bubble_sort(L):
length = len(L)
#序列长度为length，需要执行length-1轮交换
for x in range(1,length):
#对于每一轮交换，都将序列当中的左右元素进行比较
#每轮交换当中，由于序列最后的元素一定是最大的，因此每轮循环到序列未排序的位置即可
for i in range(0,length-x):
if L[i] > L[i+1]:
temp = L[i]
L[i] = L[i+1]
L[i+1] = temp
快速排序
- 算法思想：
快速排序.gif
快速排序的基本思想：挖坑填数+分治法- 从序列当中选择一个基准数(pivot)
在这里我们选择序列当中第一个数最为基准数 - 将序列当中的所有数依次遍历，比基准数大的位于其右侧，比基准数小的位于其左侧
- 重复步骤1.2，直到所有子集当中只有一个元素为止。
用伪代码描述如下：
1．i =L; j = R; 将基准数挖出形成第一个坑a[i]。
2．j--由后向前找比它小的数，找到后挖出此数填前一个坑a[i]中。
3．i++由前向后找比它大的数，找到后也挖出此数填到前一个坑a[j]中。
4．再重复执行2，3二步，直到i==j，将基准数填入a[i]中
- 从序列当中选择一个基准数(pivot)
- 代码实现：
#快速排序
#L：待排序的序列；start排序的开始index,end序列末尾的index
#对于长度为length的序列：start = 0;end = length-1
def quick_sort(L,start,end):
if start < end:
i , j , pivot = start , end , L[start]
while i < j:
#从右开始向左寻找第一个小于pivot的值
while (i < j) and (L[j] >= pivot):
j = j-1
#将小于pivot的值移到左边
if (i < j):
L[i] = L[j]
i = i+1
#从左开始向右寻找第一个大于pivot的值
while (i < j) and (L[i] < pivot):
i = i+1
#将大于pivot的值移到右边
if (i < j):
L[j] = L[i]
j = j-1
#循环结束后，说明 i=j，此时左边的值全都小于pivot,右边的值全都大于pivot
#pivot的位置移动正确，那么此时只需对左右两侧的序列调用此函数进一步排序即可
#递归调用函数：依次对左侧序列：从0 ~ i-1//右侧序列：从i+1 ~ end
L[i] = pivot
#左侧序列继续排序
quick_sort(L,start,i-1)
#右侧序列继续排序
quick_sort(L,i+1,end)
归并排序
-
算法思想：
归并排序.gif- 归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个典型的应用。它的基本操作是：将已有的子序列合并，达到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。
- 归并排序其实要做两件事：
- 分解----将序列每次折半拆分
- 合并----将划分后的序列段两两排序合并
因此，归并排序实际上就是两个操作，拆分+合并
- 如何合并？
L[first...mid]为第一段，L[mid+1...last]为第二段，并且两端已经有序，现在我们要将两端合成达到L[first...last]并且也有序。
- 首先依次从第一段与第二段中取出元素比较，将较小的元素赋值给temp[]
- 重复执行上一步，当某一段赋值结束，则将另一段剩下的元素赋值给temp[]
- 此时将temp[]中的元素复制给L[]，则得到的L[first...last]有序
- 如何分解？
在这里，我们采用递归的方法，首先将待排序列分成A,B两组；然后重复对A、B序列
分组；直到分组后组内只有一个元素，此时我们认为组内所有元素有序，则分组结束。
代码实现
# 归并排序
#这是合并的函数
# 将序列L[first...mid]与序列L[mid+1...last]进行合并
def mergearray(L,first,mid,last,temp):
#对i,j,k分别进行赋值
i,j,k = first,mid+1,0
#当左右两边都有数时进行比较，取较小的数
while (i <= mid) and (j <= last):
if L[i] <= L[j]:
temp[k] = L[i]
i = i+1
k = k+1
else:
temp[k] = L[j]
j = j+1
k = k+1
#如果左边序列还有数
while (i <= mid):
temp[k] = L[i]
i = i+1
k = k+1
#如果右边序列还有数
while (j <= last):
temp[k] = L[j]
j = j+1
k = k+1
#将temp当中该段有序元素赋值给L待排序列使之部分有序
for x in range(0,k):
L[first+x] = temp[x]
# 这是分组的函数
def merge_sort(L,first,last,temp):
if first < last:
mid = (int)((first + last) / 2)
#使左边序列有序
merge_sort(L,first,mid,temp)
#使右边序列有序
merge_sort(L,mid+1,last,temp)
#将两个有序序列合并
mergearray(L,first,mid,last,temp)
# 归并排序的函数
def merge_sort_array(L):
#声明一个长度为len(L)的空列表
temp = len(L)*[None]
#调用归并排序
merge_sort(L,0,len(L)-1,temp)
基数排序
-
算法思想
基数排序.gif- 基数排序：通过序列中各个元素的值，对排序的N个元素进行若干趟的“分配”与“收集”来实现排序。
分配：我们将L[i]中的元素取出，首先确定其个位上的数字，根据该数字分配到与之序号相同的桶中
收集：当序列中所有的元素都分配到对应的桶中，再按照顺序依次将桶中的元素收集形成新的一个待排序列L[ ]
对新形成的序列L[]重复执行分配和收集元素中的十位、百位...直到分配完该序列中的最高位，则排序结束 - 根据上述“基数排序”的展示，我们可以清楚的看到整个实现的过程
- 基数排序：通过序列中各个元素的值，对排序的N个元素进行若干趟的“分配”与“收集”来实现排序。
- 代码实现
#************************基数排序****************************
#确定排序的次数
#排序的顺序跟序列中最大数的位数相关
def radix_sort_nums(L):
maxNum = L[0]
#寻找序列中的最大数
for x in L:
if maxNum < x:
maxNum = x
#确定序列中的最大元素的位数
times = 0
while (maxNum > 0):
maxNum = (int)(maxNum/10)
times = times+1
return times
#找到num从低到高第pos位的数据
def get_num_pos(num,pos):
return ((int)(num/(10**(pos-1))))%10
#基数排序
def radix_sort(L):
count = 10*[None] #存放各个桶的数据统计个数
bucket = len(L)*[None] #暂时存放排序结果
#从低位到高位依次执行循环
for pos in range(1,radix_sort_nums(L)+1):
#置空各个桶的数据统计
for x in range(0,10):
count[x] = 0
#统计当前该位(个位，十位，百位....)的元素数目
for x in range(0,len(L)):
#统计各个桶将要装进去的元素个数
j = get_num_pos(int(L[x]),pos)
count[j] = count[j]+1
#count[i]表示第i个桶的右边界索引
for x in range(1,10):
count[x] = count[x] + count[x-1]
#将数据依次装入桶中
for x in range(len(L)-1,-1,-1):
#求出元素第K位的数字
j = get_num_pos(L[x],pos)
#放入对应的桶中，count[j]-1是第j个桶的右边界索引
bucket[count[j]-1] = L[x]
#对应桶的装入数据索引-1
count[j] = count[j]-1
# 将已分配好的桶中数据再倒出来，此时已是对应当前位数有序的表
for x in range(0,len(L)):
L[x] = bucket[x]
后记
写完之后运行了一下时间比较：
- 1w个数据时：
直接插入排序:11.615608
希尔排序:13.012008
简单选择排序:3.645136000000001
堆排序:0.09587900000000005
冒泡排序:6.687218999999999
#****************************************************
快速排序:9.999999974752427e-07
#快速排序有误：实际上并未执行
#RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
#****************************************************
归并排序:0.05638299999999674
基数排序:0.08150400000000246
- 10w个数据时：
直接插入排序:1233.581131
希尔排序:1409.8012320000003
简单选择排序:466.66974500000015
堆排序:1.2036720000000969
冒泡排序:751.274449
#****************************************************
快速排序:1.0000003385357559e-06
#快速排序有误：实际上并未执行
#RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
#****************************************************
归并排序:0.8262230000000272
基数排序:1.1162899999999354
从运行结果上来看，堆排序、归并排序、基数排序真的快。
对于快速排序迭代深度超过的问题，可以将考虑将快排通过非递归的方式进行实现。
参考资料
- 数据结构可视化：visualgo
- 希尔排序介绍：希尔排序
- 堆排序：《算法导论》读书笔记之第6章 堆排序
- 博客园：静默虚空
- 博客：vincent-cws
