logistic回归—离散变量的分类问题
上图所示是一个（0,1）分类问题，当y的取值为{0,1,2,3}时，就变成一个多分类问题
上述问题是一个肿瘤预测问题，根据肿瘤的大小判断肿瘤是良性还是恶性的，当数据显示如图时，使用线性回归似乎是合理的肿瘤大小小于0.5对应的那个值时肿瘤为良性，大于时为恶性，但是，当多了一个数据点，如下图所示时，回归线可能会发生变化。
在这种情况下，阈值变成了蓝色圆点，此时蓝点左边的数据会被判断为良性，右边被判断为恶性。分类效果差。线性回归问题不适合于分类问题。分类问题的结果通常是0或1，但是根据线性回归问题求出的结果通常会大于一或小于零。而logistic回归得到的结果或分类会在（0，1）之间。logistic是一个用于输出为离散值0或1的分类问题，尽管他的名字是回归，但实际是用于分类。
在进行分类问题的时候，我们希望标签范围在0~1的范围内，此时，我们就可以用到sigmoid function 即logistic function。我们原来的模型假设，形式为，此时我们将等式右边变换成
,g函数表示为一个sigmoid函数的形式，则原假设模型变为
,这样就保证输出值在（0,1）的范围内，要做的还是求解参数
。
输出结果表示，给定x的特征，则结果y=1的可能性有多大。如上例所示，0.7表示在x属于恶性肿瘤的可能性为70%数学表示为：
决策边界
sigmoid function什么时候会将y预测为0，什么时候会预测为1。假设函数的形状是什么样。
我们已知表示y=I的概率，当概率大于等于0.5时，我们将其分类为1，当小于0.5时，我们将其分类为0。由右边的sigmoid函数图象可知，当z=0时，g(z)=0.5,则当
时
，y分类为1，
时
，y分类为0。在假说模型中，
。因此，对于假说模型
来说，当
时，y=1;当
时，y=0。
上图中的边界即为决策边界，在计算出参数
的值以后，根据模型可以对模型进行分类，用于分类的平面即为决策边界，决策边界是假说模型的性质，与数据无关。
我们可以根据需要构造特征，在上例中，我们构造了两个二次特征，根据训练数据得到参数值以后，根据模型可以对数据进行分类，在上例中，我们得到一个非线性的决策边界，在外围y=1,在边界内y=0。当特征变量变得更多更复杂的时候，决策边界会变的更加复杂，形状也会更加不同。
logistic 回归中参数的拟合——优化模型，损失函数
在logistics回归中沿用线性回归中的损失函数，会产生非凸函数，存在很多局部最优，无法求解全局最优，因而，在logistic回归中，我们使用如下损失函数。
上式将非凸优化问题转化为凸优化问题，坐标图表示在y=1的情况下，随着取值的不同，损失函数的变化。当y=1时，若
=0，则损失函数趋向于无穷，其意义为，若病人确实患有恶性肿瘤，你的预测却是非恶性的，则惩罚是很大的，趋向于无穷。若
,y=1,则损失函数值为0，如图所示。
当y=0时，损失函数如图，当时，损失函数趋向于无穷，表示，如果最后的结果表明y=0，但是我们却几乎非常肯定的预测其为1，则带来的损失值是很大的。
为了方便的根据损失函数利用梯度下降法求解参数值，我们要将上述logistic回归的损失函数简化。简化结果如下图所示。
由于y的取值只有0或1，当分别取0或1时，上述简化的损失函数与原损失函数相同。
在简化损失函数之后，我们要做的就是讲最小化损失函数，从而求出参数值。然后根据求出的参数值找到测试集中的数据的输出。注意，这里的输出值的意义都是概率。
logistic回归的高级优化
在进行优化计算时，除了梯度下降法，还有很多高级优化算法，如上述三种，他们的优点是不需要手动设定学习率，他们有嵌入的内循环，自动选择不同的学习率，从而找到最优的学习率。共同的缺点就是更为复杂，在利用这些算法时吗，最好直接调用算法库。使用高级算法时，首先要给定损失函数和梯度。
logistic多元分类：一对多
当分类输出不止一种结果时，就产生了多分类问题，如邮件的分类等。logistic分类也可以用于多分类问题，如下图所示：
对于多分类问题，logistic回归相当于进行了多了二分类问题，如上图所示，区分三个类别，相当于进行了三次二分类问题，每次都把其中的一个类看成是正样例，其他所有类别看成是负样例。
