Introduction to Classical Integrable Systems by Oliver Babelov, Denis Bernard and Michel Talon
讨论班上我们也讨论了在这本书上的部分内容。这本书当然是介绍经典可积性的‘bible’,我们戏称为“大黄书”和那本CFT的“小黄书”对应。 因为书中要素过多，斑杂艰深，理解起来还是需要很多时间的反复研读学习，并且还要和研究相互联系。理解是一个不断精进的过程，但是至少要知道这本书的总纲和涵盖的内容，便于以后查阅。
经典可积性
我们先考虑具有有限自由度的经典理论，比如经典力学系统。虽然牛顿力学基本原理F=ma很简单，但是得到的运动学方程，并不是都可以得到精确的解析解的。很自然的问题就是，什么情况下，经典力学系统是可以精确求解的，如果可以精确求解，我们就成为系统是可积的。一类可积系统称为刘维尔可积：如果系统的相空间是2n维，并且具有n个独立的守恒量，那么运动方程可以通过直接的积分求解。对于刘维尔可积的理论，求解问题就变成了寻找守恒量的问题。
一个general 并且有效的寻找守恒量的方法是利用Lax pair L and M(2 个 矩阵，里面的element依赖dynamical variables)。Lax pair 要满足 等价于运动方程的 Lax equation: dL/dt=[L,M]. 这样寻找守恒量的问题，变为寻找Lax pair的问题。如果要求守恒量是独立的，那么Lax matrix 的element之间的Poisson bracket，可以用一个r-matrix 来写。从这里可以看出来，不等价Lax matrix 对应不同的r-matrix。从这种意义来说，r-matrix可以对可积系统进行分类。Poisson bracket 的Jacobian identity 转换为r-matrix的一个限制：要满足classical Yang-Baxter equation (如果r-matrix不依赖时间。)
这样找到Lax pair 之后，求解运动方程的问题就变成了求解Lax-equation的问题。
Zakharov-Shabat construction
给定一个系统可积，虽然告诉了我们系统是可积的，但是并不存在一个构造Lax pair的canonical method。但是我们可以反过来考虑这样的问题，给定两个矩阵，他们满足Lax equation，我们能不能构造一个Hamiltonian 力学系统。Zakharov-Shabat 定理说，如果这两个矩阵依赖一个复参数我们称为谱参数，那么这个构造是可行的。构造的意思是说我们要：1. 找到dynamical variables;2 定义Poisson bracket。
这里先假设L,M是关于谱参数的半纯函数，这样通过match Lax equation 两边pole的结果，可以得到很多限制。首先考虑regular的部分，这部分的Lax equation 只依赖于L和M的regular的部分L0和M0。我们可以做一个gauge transformation将L0对角化，那么我们发现，Lax equation dL0/dt=[L0,Mo] 要求 M0也是对角的，并且L0是contant 矩阵，应该对应一些初始条件。所以dynamical variables的信息应该包含在L的pole的位置的取值==L-的矩阵元里。我们先对其中一个pole=k进行分析，在k附近我们有Lax equation dLk/dt=[Lk, Mk]。两边取trace, 因为commutator的trace=0，所以Tr[Lk]is contant。直接计算不难发现 dLk2/dt=[Lk2, Mk]，所以Tr[Lk^2]is contant，类似的我们可知Tr[Lk^n]都是constant, 等价的是说Lk的eigenvalue都是contant. 所以我们可以把Lk用相似变换写成 Lk=g Ak g^(-1)，其中Ak是constant 对角矩阵，由此可知，g是我们的dynamical variable。因为两边pole的位置要match, 所以 M 的pole的位置应该和L的pole的位置是一样的，只不过是pole的阶不同，这就说明，M可以写成L的一个多项式。这样我们就完成了构造的第一步：
相似变换矩阵g是我们的dynamical variable；
specify一个多项式就specify一个具体的dynamics.
接下来，我们需要说明，每一个dynamics都等价于一个Hamiltonian dynamics，也就是要找到Hamiltonian和Poisson bracket。
让G为相似变换矩阵构成的group, 因为g依赖于谱参数，所以G是一个loop group。记其对应的algebra为ag, dual algebra 为dg. 我们可以认为L定义在dg上（或者说L是一个functional）。通过以上的分析我们已经发现 Lk=g Ak g^(-1)，可以理解为，Lk在由A定义的coadjoin orbit上。无穷小的形式就是 dLk/dt=[Lk,Mk] 即 Lax equation。也就是说Lax equation 其实描述了一个在coadjoint orbit上的flow。在coadjoint orbit存在一个自然的Poisson bracket: the Kostant-Kirillov Poisson bracket 可以写成{L1,L2}=[r,L1+L2]. 这里面的r是由G来决定的，这正是involution的条件，并且这里给出了一个Poisson bracket和 commutator的一个相互转化，这就提供了把Lax equation 转化为Hamiltonian equation的途径。之前我们已经说明，M可以写成L的一个多项式，对每一个多项式，我们都能构造一个Hamiltonian，一组自然的基是 L^n 对应的 Hn=Tr[L^n]，所以我们就要了一组fundamental flow, 并且可以证明这组flow是可交换的。这样就完成了构造的第二步。
剩下的问题就是，我们怎样求解Lax equation。
根据之前的分析，我们可以把flow分解成fundamental flow的叠加，那么我们只需要知道怎么求解每一个fundamental flow。这个问题可以证明等价于一个Factorization problem 也就是一个Rienmann-Hilbert problem.
逻辑闭合。
spectral curve method
Zakharov-Shabat construction 给了我们一类可积系统。求解问题可以转换为Rienmann-Hilbert problem 的数学问题。这里我给出另外一种求解这类Lax equation dL/dt=[L,M].的方法: spectral curve method。
General Idea
我们在Zahkarov-Shabat construction里提到， Lax matrix 可以写成 L=g Ak g^(-1) 并且dynamical variable 是g。这个方程是说，L的eigenvalue提供A, eigenfunction 提供 g，所以研究g的dynamics应该等价于研究eigenfunction 的dynamics. 这样我们就要研究Lax matrix的特征值问题，也就是研究Lax matrix 的特征方程，这个特征方程定义了一个黎曼面。在黎曼面上任意一点，都可得到一个eigenvector，这个eigenvector的components是黎曼面上半纯函数。如果eigenvector是一个N-vector，那么我们定义N个open sets 在黎曼面上。定义open set Ui, 包含所有的点，在这些点上 eigenvector的i component psi_i不为0，transition function t_ij=psi_i/psi_j。类似地我们可以对normalized eigenvector （把第一个component设为1）定义一个 line-bundle , eigenvector 给出了其一个自然的section，这个section上pole的个数等于这个line-bundle的Chern-class，通过计算发现其=g+N-1，其中N-1来自于gauge condition（对L0的限制，对应于L0的eigenvalues 为constants）。所以只有其他g个poles 含有dynamical 信息。对于这g个pole，我们定义一个Divisor（simply 这些点的直合。）每个Divisor都唯一确定了一个eigenvector。所以Divisor的dynamics确定了eigenvector的dynamics,也就确定了Lax matrix的dynamics。
现在求解可积系统的问题，变为求解Divisor dynamics的问题。最后我们发现，这个dynamics 是一个linear flow 在spectral curve 定义的 Jacobian 簇上。
代数方法
之前我们提到“... ... 那么Lax matrix 的element之间的Poisson bracket，可以用一个r-matrix 来写。”，具体来说就是 {L1,L2}=[r_12,L1]-[r_21,L2]。我们可以从这个方程出发来构造可积理论。因为这个方程本身给出了Poisson bracket, 它是由r-matrix来确定的。
首先我们假设r-matrix是作用在某个代数 G上面，所以r-matrix 定义在G\otimes G上。和之前一样，我们让Lax matrix L定义在 G的对偶代数dG 上。我们也可以找到一个functional R代表r-matrix在dG上的作用。这样我们可以在对偶空间重新写这个方程{L1,L2}=[r_12,L1]-[r_21,L2]=> {L(X),L(Y)}=L([X,RY]+[RX,Y])==L([X,Y]_R).
从Poisson bracket 的Jacobian identity 可以得到R 需要满足的方程，称作为modified YB equation。如果要求R是反对称的，那么从每一个mYBE的解R, 可以构造一个r满足 classical YBE，并且[X,Y]_R 同样定义了另外一个Lie algebra这样我们就有了一个bi-algebra. 我们可以从代数的角度重新讨论。
如果我们在某一个李代数[]上面解出了mYBE的一个解R, 那么我可以用其构造一个bi-algebra, 另外一个commutator 是用[]_R定义的。这两个代数，分别对应了2个对偶代数，也就对应了两个coadjoint algebra，在上边可以定义两个Kostant-Kirillov Poisson brackets，其中一个即{L(X),L(Y)}=L([X,RY]+[RX,Y])==L([X,Y]_R)，这样我们可以选取一个Hamiltonian（coadjoint 不变的函数）来得到一个可积系统。
从经典力学到经典场论
最后在说明一下怎么从dL/dt=[L,M]得到场论版本的Lax connection flatness condition。首先我们要引入一个额外的空间维度x, 可以选择x compact在S1上。和引入谱参数的方法一样，我们考虑L 定义在两个loop group上分别对应参数谱参数和x。然后在x loop group 对应的代数上面，引入一个central extension。这样其dual algebra 就会依赖"dual central extension". 在coadjoint 下，dual algebra element 和 dual central extension 的变换会混合在一些。这样coadjoint orbit 就会多出一下对dual central extension 求导的项，这样Lax equation （flow on coadjoint orbit）就变为了Lax connection flatness condition。
