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1.2

1.2

Static Optimization：Inequality Constraints

不等式约束最大化问题：

$\max_xf(x)\qquad s.t.\quad g^j(x)\leq0,j=1,...,m$

构造拉格朗日函数：

$\mathcal L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{j=1}^m\lambda_jg^j(x)$

最优性条件（Kuhn-Tucker）：

（1） $\frac{\partial \mathcal L}{\partial x_i}=0,i=1,...,n$ ；

（2） $\lambda_j^*\geq0,g^j(x^*)\leq0,\lambda_j^*g^j(x^*)=0,j=1,...,m$

假定： $f$ 为凹函数， $g^j$ 为凸函数，约束条件满足，则存在 $(x^*,\lambda^*)$ 满足Kuhn-Tucker条件，且 $x^*$ 为原问题最大化点

Choice，Preference and Utility

决策者选取 $x\in X\subset \mathbb{R}^n$ 以最大化其效用函数 $u:X\rightarrow \mathbb{R}$

①个人选择为经济的基础数据

②个人选择会揭示个人偏好

③效用与选择、偏好的数学结构一致

弱偏好关系 $x\succeq y$

强偏好关系 $x\succ y\Leftrightarrow x\succeq y\;but\;not\;y\succeq x$

无差别关系 $x\sim y\Leftrightarrow x\succeq y\;and\;y\succeq x$

理性偏好 $\succeq$ ：

①完备性： $\forall x,y,either\;x\succeq y\;or\;y\succeq x$

②传递性： $\forall x,y,z,x\succeq y\;and\;y\succeq z\Rightarrow x\succeq z$

性质：

① $\succ$ 无反身性，有传递性

② $\sim$ 有反身性，传递性，对称性

③ $x\succ y\succeq z\Rightarrow x\succ z$

效用函数 $u:X\rightarrow\mathbb R$ 代表偏好关系 $\succeq$ ，若 $\forall x,y,x\succeq y\Leftrightarrow u(x)\geq u(y)$

定理：

①若偏好关系 $\succeq$ 可以被效用函数表示，则它是理性的

②若 $X$ 可数，且偏好关系 $\succeq$ 理性，则它可以被效用函数表示

偏好关系 $\succeq$ 连续，若下面其中一项成立：

① $\forall x,y\in X\;with\;x\succ y,\exists \varepsilon>0$ ，对 $\forall x^\prime\in B_\varepsilon(x),y^\prime\in B_\varepsilon(y)$ ，有 $x^\prime \succ y^\prime$

② $\forall \{x_n,y_n\}_{n=1}^\infty\;with\;x_n\succeq y_n$ ，记 $x=\lim x_n,y=\lim y_n$ ，则 $x\succeq y$

定理：

若偏好关系 $\succeq$ 理性且连续，则它可以被效用函数表示

选择结构 $(\mathcal B,C)$ ：

①选择集 $\mathcal B$ 由元素 $B\subset X$ 构成

②选择规则 $C$ 定义在 $\mathcal B$ 上，满足 $C(B)\subset B$

显示偏好弱公理（the weak axiom of revealed preference, WARP）：

$\forall B,B^\prime\in\mathcal B\;and\;x,y\in B\cap B^\prime$ ，有 $x\in C(B)\;and\; y\in C(B^\prime)\Rightarrow x\in C(B^\prime)$

定义：

①给定偏好 $\succeq$ ，有引致偏好 $C_\succeq(B)=\{x\in B:x\succeq y,\forall y\in B\}$

②称理性偏好关系 $\succeq$ 理性化选择结构 $(\mathcal B,C)$ ，若 $C(B)=C_\succeq(B),\forall B\in\mathcal B$

③选择结构 $(\mathcal B,C)$ 的显示偏好关系 $\succeq^*$ 满足：

$x\succeq^* y\Leftrightarrow \exists B\in\mathcal B\;with\;x,y\in B\;and\;x\in C(B)$

定理：

给定选择结构 $(\mathcal B,C)$ 和偏好关系 $\succeq$ ，则

①若 $\succeq$ 是理性的，则 $(B,C_\succeq)$ 满足显示偏好弱公理

②若选择结构 $(\mathcal B,C)$ 被偏好关系 $\succeq$ 理性化，则 $x\succeq^*y\Leftrightarrow x\succeq y$

定理：

假定 $\mathcal B$ 包含 $X$ 中所有元素个数为2和3的子集

如果选择结构 $(\mathcal B,C)$ 满足显示弱偏好公理，则它可以被一个理性偏好理性化

事实上， $C(B)=C_{\succeq^*}(B),\forall B\in\mathcal B$

最后编辑于：2020.09.17 17:05:20

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