1.2

Static Optimization:Inequality Constraints

        不等式约束最大化问题:

\max_xf(x)\qquad s.t.\quad g^j(x)\leq0,j=1,...,m

        构造拉格朗日函数:

\mathcal L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{j=1}^m\lambda_jg^j(x)

        最优性条件(Kuhn-Tucker):

(1)\frac{\partial \mathcal L}{\partial x_i}=0,i=1,...,n

(2)\lambda_j^*\geq0,g^j(x^*)\leq0,\lambda_j^*g^j(x^*)=0,j=1,...,m

        假定:f为凹函数,g^j为凸函数,约束条件满足,则存在(x^*,\lambda^*)满足Kuhn-Tucker条件,且x^*为原问题最大化点


Choice,Preference and Utility

        决策者选取x\in X\subset \mathbb{R}^n以最大化其效用函数u:X\rightarrow \mathbb{R}

    ①个人选择为经济的基础数据

    ②个人选择会揭示个人偏好

    ③效用与选择、偏好的数学结构一致


        弱偏好关系x\succeq y

        强偏好关系x\succ y\Leftrightarrow x\succeq y\;but\;not\;y\succeq x

        无差别关系x\sim y\Leftrightarrow x\succeq y\;and\;y\succeq x


        理性偏好\succeq

    ①完备性:\forall x,y,either\;x\succeq y\;or\;y\succeq x

    ②传递性:\forall x,y,z,x\succeq y\;and\;y\succeq z\Rightarrow x\succeq z

        性质:

    ①\succ无反身性,有传递性

    ②\sim有反身性,传递性,对称性

    ③x\succ y\succeq z\Rightarrow x\succ z


        效用函数u:X\rightarrow\mathbb R代表偏好关系\succeq,若\forall x,y,x\succeq y\Leftrightarrow u(x)\geq u(y)

定理:

    ①若偏好关系\succeq可以被效用函数表示,则它是理性的

    ②若X可数,且偏好关系\succeq理性,则它可以被效用函数表示


        偏好关系\succeq连续,若下面其中一项成立:

    ①\forall x,y\in X\;with\;x\succ y,\exists \varepsilon>0,对\forall x^\prime\in B_\varepsilon(x),y^\prime\in B_\varepsilon(y),有x^\prime \succ y^\prime

    ②\forall \{x_n,y_n\}_{n=1}^\infty\;with\;x_n\succeq y_n,记x=\lim x_n,y=\lim y_n,则x\succeq y

定理:

        若偏好关系\succeq理性且连续,则它可以被效用函数表示


        选择结构(\mathcal B,C)

    ①选择集\mathcal B由元素B\subset X构成

    ②选择规则C定义在\mathcal B上,满足C(B)\subset B


        显示偏好弱公理(the weak axiom of revealed preference, WARP):

\forall B,B^\prime\in\mathcal B\;and\;x,y\in B\cap B^\prime,有x\in C(B)\;and\; y\in C(B^\prime)\Rightarrow x\in C(B^\prime)


定义:

    ①给定偏好\succeq,有引致偏好C_\succeq(B)=\{x\in B:x\succeq y,\forall y\in B\}

    ②称理性偏好关系\succeq理性化选择结构(\mathcal B,C),若C(B)=C_\succeq(B),\forall B\in\mathcal B

    ③选择结构(\mathcal B,C)的显示偏好关系\succeq^*满足:

x\succeq^* y\Leftrightarrow \exists B\in\mathcal B\;with\;x,y\in B\;and\;x\in C(B)

定理:

        给定选择结构(\mathcal B,C)和偏好关系\succeq,则

    ①若\succeq是理性的,则(B,C_\succeq)满足显示偏好弱公理

    ②若选择结构(\mathcal B,C)被偏好关系\succeq理性化,则x\succeq^*y\Leftrightarrow x\succeq y

定理:

        假定\mathcal B包含X中所有元素个数为2和3的子集

        如果选择结构(\mathcal B,C)满足显示弱偏好公理,则它可以被一个理性偏好理性化

        事实上,C(B)=C_{\succeq^*}(B),\forall B\in\mathcal B

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