简书markdown初体验-复变函数01

这边测试一下简书的Markdown：
刚冰河大佬教了我复变，我好菜啊
不多说上题体验一下：
$\begin{aligned} 证明：&\\ &r\cos\theta-r^2\dfrac{\cos2\theta}{2}+r^3\dfrac{\cos3\theta}{3}-+\cdots=\dfrac12\ln(1+2r\cos\theta+r^2)\\ &r\sin\theta-r^2\dfrac{\sin2\theta}{2}\;+r^3\dfrac{\sin3\theta}{3}+\cdots=\arctan\dfrac{r\sin\theta}{1+r\cos\theta} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\dfrac{z}{1-z}=\sum_{n=1}^{\infty}z^n\qquad(|z|<1)\\ &左右两边积分可得\;\ln(1-z)=-\sum_{n=1}^\infty\dfrac{z^n}{n}.\\ &代入z=re^{i \theta},\dfrac{re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}=\sum_{n=1}^{\infty}r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\\ &左边=\dfrac{re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}=\dfrac{r\cos\theta+ir\sin\theta}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}=\dfrac{(r\cos\theta+ir\sin\theta)[(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta]}{(1-r\cos\theta)^2+r^2\sin^2\theta}\\ &\qquad=\dfrac{r\cos\theta-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}+i\dfrac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^2}\\ &因此\dfrac{\cos\theta-r}{1-2r\cos\theta+r^2}=\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}\cos n\theta,\;\;\dfrac{\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^2}=\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1}\sin n\theta.\\ &左右对r积分:\;\dfrac12\ln(1-2r\cos\theta+r^2)=-\sum_{n=1}^{\infty}r^n\dfrac{\cos n\theta}{n}\cdots①\\ &\qquad\qquad\qquad\;\;\; \arctan\dfrac{r\sin\theta}{1-r\cos\theta}=\sum_{n=1}^{\infty}r^n\dfrac{\sin n\theta}{n}\cdots②\\ &将①\;式中 r 换为-r得：\\&\qquad\qquad r\cos\theta-r^2\dfrac{\cos2\theta}{2}+r^3\dfrac{\cos3\theta}{3}-+\cdots=\dfrac12\ln(1+2r\cos\theta+r^2)\\ \\ &将②\;式中的r换为-r，\theta换为-\theta得：\\ &\qquad\qquad r\sin\theta-r^2\dfrac{\sin2\theta}{2}\;+r^3\dfrac{\sin3\theta}{3}-+\cdots=\arctan\dfrac{r \sin\theta}{1+r\cos\theta} \end{aligned}$

我最终选择了公式在vscode打完再直接复制到这里，感觉这只能作为一个发笔记的平台，毕竟码代码的体验远不如vscode，没有高亮啥的，不过这个几秒就保存一次可太厉害了，不知道怎么实现的，难不成是和git一样？

发布更新就和git push一样，挺舒服的

最后编辑于：2020.03.21 15:53:16

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