让“数数”成为一种数学基本习惯

——由《找质数》谈一致性理念的应用及其它

2022年4月21日，2022版新课标正式颁布，给一线教师教学重新指明了方向，也对教学提出了更为科学，更为全面，更为精准的目标。数学作为一门基础学科，“三会”成为了最根本的教育教学目标，也是核心素养培育的最终目标。在“数”的教学中，“一致性”成为了一种教学策略，也成为了化简“数”的教学的有力思维路径。

一、由《找质数》谈一致性理念的应用

北师大版小学数学五年级上册《倍数与因数》单元第五课时是《找质数》，因为课堂开放月的活动，同事选择了这一课，在研课的过程中，试上了几次。在讨论交流的过程中，我提出了一致性理念，并尝试在一致性理念指导下开展教学活动。

通过对一致性理念的理解，我们可以将整数、小数、分数统一到“使用不同的计数单位数（三声）数”这个学习策略上。整数是使用“个、十、百、千、万……”不同的计数单位数数累加而成的，小数则是在整数的基础上再添加“0.1、0.01、0.001……”计数单位丰富而成的。

至于分数，同样也是计数单位的问题，只不过计数单位变成了二分之一、三分之一、四分之一、五分之一……计数单位，可以理解为用来度量其它事物的一个整体。比如用一米长的尺去度量一根绳子，一米长的尺子就是计数单位。其实，在某种场合下，我们也可以是两米长的尺子去度量一根绳子，这时两米长的尺子就是计数单位。

在实际生活中，人们在清点人数或事物数量的时候，经常会两个两个一数，也会五个五个一数，从而提高清点的效率。在清点的过程中，“两个”和“五个”就是计数单位。在实际生活中，人们已经很普遍地使用，但并不清楚内在的数学原理。

当任意数都能作为计数单位的时候，我们对数学就多了一个视角。事实上也可以理解为在数学思维领域实现了更高阶的一致性。我们试想，如果孩子清楚地知道整数、小数、分数都是由计数单位“数数”或“累加”而来，只是选用的计数单位不同而已，那么数学对于孩子来说也许就不再是累赘了，而是趣味和神奇了。

在倍数与因数教学时就可以通过用计数单位数数的方式来理解了。例如3的倍数，就是用“3”作为计数单位，然后去数数，一个3，两个3，三个3，四个3……这样数出来的数都是3的倍数。同样在理解因数的时候也可以这样去数数。例如要求出9的因数，我们知道用“1”去数，是可以数出9的，用“9”去数也可以数出9来，另外用“3”去数，数三次也可以数出9来，因此9的因数有1、3、9。

学生一旦有了用计数单位数数的习惯与思维，那么偶数与奇数的理解也同样可以用计数单位来数了。凡是用计数单位“2”能数出来的都是偶数，不能数出来的就是奇数。

最后回到质数与合数。教材是使用小正方形拼长方形的方法找出因数的个数，然后再通过因数个数的多少再来判断是质数还是合数。事实上从拼长方形的直观角度上来说，只能拼成一种长条形的，这个数就是质数，但凡能拼出第二种长方形的就是合数。

除了从直观角度理解，回到用计数单位数数的方式，一个数只能用“1”和它本身数出来，那么就是质数，除了用“1”和它本身，还可以用其它的数作为计数单位数出来的，就是合数。

例如:4，可以用“1”去数，数4次得到；可以用“4”去数，数1次得到；可以用“2”去数，数2次得到。因此4就是合数。再如:9，可以用“1”去数，数9次得到；可以用“9”去数，数1次得到；还可以用“3”去数，数3次得到。因此9也是合数。

也许用计数单位数数的方法理解偶数与奇数，质数与合数，表面看来似乎有些别扭，反而学生不容易理解。但是如果，老师在平日教学中历来注重用计数单位数数的方法理解整数、小数、分数，学生一旦形成了这种习惯，习得了这种思维模式与逻辑能力，理解起上述所说的偶数与奇数，质数与合数的就水到渠成，轻而易举了。

直观形象记忆加上思维推理理解，学生对所学势必就能做到一学就会，学而不忘了。

二、从《课桌有多长》看一致性理念的缺失

史宁中教授，作为新课标研制组组长，在12月7日2022年北师大版数学教材网络交流研讨会上谈到数的一致性，一是数的概念的一致性，二是数的运算的一致性。数的概念一致性关键载体就是“计数单位”，数的运算的一致性则归根于加法，其本质就是“累加”。因此，通过对“计数单位”的“累加”就奠定了数的发展与丰盈的基座。“数（三声）数”则是这种基座的朴素表达。因此，为了学生的终生发展，作为数学教师务必时时刻刻保有这种意识，努力培养孩子“数数”的习惯。

前不久有一位年轻老师执教《课桌有多长》。这是北师大版二年级上册第六单元《测量》的第二课时。前面一课《教室有多长》，主要是让学生体验使用不同物件作为度量单位，测量的结果是不一样的。其中度量单位是感悟的核心之一。而这课时，则是为更加便于测量以及表达与应用，于是引入了长度单位——厘米（cm），并进行重点教学。

厘米显然是长度单位，强调的是相邻两个刻度之间的长度。二年级的孩子第一次学习长度单位，理性思维是很弱的，形象思维占主导作用。因此务必在借助尺子的直观，让学生感悟、体验1厘米的长度。当学生基本理解了1厘米有多长之后，再进行度量的时候，就是用“1厘米”进行“数数”的时候。

例如测量铅笔时，铅笔长度为1厘米到6厘米，铅笔到底多长呢？数感和量感很强的孩子很快就能反应过来，知道结果，但多数学生是需要循序善诱，充分体验的。要做到充分体验就要深入落实用“单位”进行“累加”的“数数”实操。课堂上可以用课前准备好的长为1厘米的木棒去度量，学生感悟度量的过程，这样得来的也更真切。

不过，用1厘米长的木棒去度量包括两个方面，一是度量尺子。二是度量铅笔和其它实物。尤其是度量尺子本身是核心。例如从“0”刻度到“5”刻度，是几厘米长呢？千万不能让学生形成错误的意识，看到“5”就是5厘米，而是要有一个思维的过程——从“0”刻度到“5”刻度之间包含几个“1厘米”，也就是用“1厘米”去测量需要量几次。

当学生感悟到这一点后，我们再来理解从“3”刻度到“6”刻度有几厘米，就有了基础。同样用“1厘米”长木棒去度量，发现需要量三次，因此就是三厘米了。至于能直接用6减3得到3的同学，老师要及时鼓励，但可以作为一个悬念，让更多同学自己去研究与感悟其中原因。

遗憾的是该课执教教师没有把“1厘米”作为度量单位，也没有将“1厘米”累加的概念。因此这堂课的教学是孤立的，没有为后续米、分米教学做铺垫，也没有为形成度量能力做铺垫，只是纯粹的告诉学生从“1”刻度到“6”刻度是5厘米的事实。可以说学生既没有习得正确的方法，也没有发展应有的能力。

作为教师，我们上得任何一节课，都不是孤立的，我们必须把这节课置于整个数学框架中来理解与定位。我们始终以“三会”为出发点，以“一致性”为导向，建构课堂，才能让课堂更迎合学生，促进学生，发展学生。

新课标已经颁布8个月了，纸质版课标教师也人手一份，网络培训讲座也不少，但愿我们每一位一线教师，认真学习，深刻领悟，将新课标精神内化为自我理解，并努力付诸实践，为学生发展助力，为教育发展赋能，做一个与时俱进的真实与真正的教育人。