2.6 - 简书

垄断价格

需求函数 $x(p)$ ，成本函数 $c(q)$ ，最大化问题 $\max_ppx(p)-c(x(p))$

反置需求函数 $p(q)$ ，最大化问题 $\max_qp(q)q-c(q)$

一阶条件： $MR>MC,p^\prime(q^m)q^m+p(q^m)=c^\prime(q^m)$

垄断价格超出边际成本 $p(q^m)>c^\prime(q^m)$

垄断产出低于均衡产出 $q^m<q^0$ ，产量的减少会导致价格的上升

垄断的无谓损失

$\int_{q^m}^{q^0}[p(s)-c^\prime(s)]ds>0$

一般情形

特殊情形

垄断寡头静态模型

Bertrand模型

①两个企业，同质商品；②连续的需求函数 $x(p)$ ；③常数边际的成本 $c$

$x_j(p_j,p_k)=\begin{cases}x(p_j),&p_j<p_k\\\frac{1}{2}x(p_j),&p_j=p_k\\0,&p_j>p_k \end{cases}$

Definition 12.C.1：

Bertrand双寡头模型中存在唯一的纳什均衡 $(\rho_1^*,\rho_2^*)$ ，且企业都将价格设置为成本 $\rho_1^*=\rho_2^*=c$

两个企业之间的竞争会导致竞争性结果，即一个不现实的结论

对Bertrand模型的三个改进

①Cournot的产量竞争模型；②容量约束；③产品差异化

Cournot的产量竞争模型：

两个企业

逆转需求函数 $p(q),p^\prime(\cdot)<0$

常数边际的成本 $c$

社会最优结果 $p(q^0)=c$

最大化问题 $\max_{q_j}p(q_j+\overline q_k)q_j-cq_j$

$p^\prime(q_1^*+q_2^*)q_1^*+p(q_1^*+q_2^*)\leq c$ ，取等若 $q_1^*>0$

$p^\prime(q_1^*+q_2^*)q_2^*+p(q_1^*+q_2^*)\leq c$ ，取等若 $q_2^*>0$

Cournot纳什均衡：

$p^\prime(q_1^*+q_2^*)\frac{q_1^*+q_2^*}{2}+p(q_1^*+q_2^*)=c$

推广到 $J>2$ 个企业：

$P^\prime(Q_J^*)\frac{Q_J^*}{J}+p(Q_J^*)=c$

由 $Q_J^*<q^0$ 有界，则当 $J\rightarrow\infty$ 时， $\frac{Q_J^*}{J}\rightarrow0$

一阶条件渐近变为 $P(Q_J^*)=c$ ，因此当 $J\rightarrow\infty$ 时， $Q_J^*\rightarrow q^0$

Cournot结果→竞争性结果：当 $J\rightarrow\infty$ ，市场力量消失，竞争性均衡达到

容量约束

Edgeworth垄断寡头模型

容量为公共信息，有效容量约束 $\overline q< x(c)$

由于存在容量约束，企业无法在任何价格提供对应的产量，进而降低了企业间的竞争

claim：

存在容量约束 $\overline q<x(c)$ 时， $(c,c)$ 不再是纳什均衡，若：

①在价格 $p=c$ ，单一企业无法单独满足所有的市场需求

②在价格 $p=c+\varepsilon$ ，企业获得正的额外市场需求

③给定其他企业和价格 $p=c$ ，企业有激励去降价

有效理性法则

假定价格最低的企业可以获得最大的市场份额

$D_1(p_1)=\begin{cases}x(p_1)-\overline q,&x(p_1)>\overline q\\0,&x(p_1)\leq\overline q\end{cases}$

$\pi_1(p_1)=(p_1-c)[x(p_1)-\overline q]$

有限容量约束提高了企业利润，企业有激励去限制容量

内生容量约束

Kreps&Scheinkman(1983)

动态博弈：①选择容量约束；②价格竞争

结果与Cournot结果一致

向后递归

给定 $t_1$ 时刻的产量 $\overline q_1,\overline q_2$ ，有价格竞争中的纳什均衡 $p_1^*=p_2^*=p(\overline q_1+\overline q_2)$

选择最优容量约束与选择最优产出一致： $\max_{\overline q_i}p(\overline q_i+\overline q_j^*)\overline q_i-c\overline q_i$

不失一般性地，假定 $\overline q_1\leq \overline q_2$ ，考虑线性需求函数 $x(p)=1-p$ ，即 $p(q)=1-q$

将成本标准化为零，给定产量 $\overline q_1,\overline q_2$ ，价格 $p_0=1-(\overline q_1+\overline q_2)$

没有企业将价格设置低于 $p_0$ ，假定企业1设置价格为 $p_1>p_0$

如果企业2将价格设置为 $p_1-\tau$ ，得到 $(p_1-\tau)\overline q_2$

如果企业2将价格设置为 $p_1+\tau$ ，得到

$(p_1+\tau)(1-p_1-\overline q_1)=(p_1+\tau)\overline q_2-(p_1+\tau)(p_1-p_0)$

如果企业2将价格设置为 $p_1$ ，得到

$p_1\frac{1-p_1}{2}<p_1\frac{1-p_0}{2}=p_1\frac{\overline q_1+\overline q_2}{2}\leq p_1\overline q_2$

存在 $\tau$ 足够小，使得 $(p_1-\tau)\overline q_2>(p_1+\tau)\overline q_2-(p_1+\tau)(p_1-p_0)$ ，

且 $(p_1-\tau)\overline q_2>p_1\frac{1-p_1}{2}$

因此在价格大于 $p_0$ 时，两个企业都有激励去降低价格

若 $(p_0,p_0)$ 为纳什均衡，假定 $p_1=p_0$ ，企业2： $\max_{p_2\geq p_0}p_2(1-p_2-\overline q_2)$

一阶条件： $1-\overline q_1-2p_2|_{p_2=p_0}=\overline q_1+2\overline q_2-1$

则企业2会将价格降低为 $p_2-\tau$ ，仍然获得产量 $\overline q_1$

但是两个企业都把价格设置高于 $p_0$ 不为纳什均衡

若 $\overline q_1+2\overline q_2\leq 1$ ，则最优化条件为 $p_2=p_0$ ，此时 $(p_0,p_0)$ 为纳什均衡

产品差异化

存在产品差异化时，每个企业会拥有一定的市场力量

有边际成本 $c$ 的 $J>1$ 个企业

对每个企业 $j$ ，记对手的价格为 $\overline p_{-j}$ 给定，则： $\max_{p_j>c}(p_j-c)x_j(p_j,\overline p_{-j})$

软化Bertrand模型的强竞争

MWG 12.C.2 线性城市模型

一个线性城市，长度为1分割的连续消费者 $M$ ，在线段上均匀分布，消费者的坐标为距离左端点的距离，两个企业分别坐落在线段的两端

同质商品，且有边际成本 $c>0$ ，每个消费者最多消费单位商品，并获得价值 $v$

线性转移成本

①从企业 $j$ 为与企业距离为 $d$ 的消费者购买商品的总成本为 $p_j+td$

②单位距离的成本是 $t/2$

③转移成本产生了差异性

给定价格对 $(p_1,p_2)$ ，对于位置 $z$ 处的消费者

买企业1的商品若当： $p_1+tz<p_2+t(1-z)$

决定购买若当： $v-p_1-tz>0$

所有消费者由购买获得一个严格正的供给

均衡点 $\hat z$ 满足： $p_1+t\hat z=p_2+y(1-\hat z)$ ，即 $\hat z=\frac{t+p_2-p_1}{2t}$

均衡可能包含：

①企业未达到的市场区域

②企业在市场中间处争夺消费者

③依赖于参数 $(v,c,t)$

假定价值 $v$ 足够大，排除了不购买的情形

给定价格对 $(p_1,p_2)$ ，考虑企业1的需求

$x_1(p_1,p_2)=\begin{cases}\hat zM,&\hat z\in[0,1]\\M,&\hat z>1\\0,&\hat z</p><p>即<img class=$

且 $x_2(p_1,p_2)=\begin{cases}\frac{t+p_1-p_2}{2t}M,&p_2\in[p_1-t,p_1+t]\\M,&p_2<p_1-t\\0,&p_2>p_1+t\end{cases}$

只需考虑区间 $p_1\in[p_2-t,p_2+t]$ 与 $p_2\in[p_1-t,p_1+t]$

响应 $\overline p_{-j}$ 以解决：

$\max_{p_j}(p_j-c)(t+\overline p_{-j}-p_j)\frac{M}{2t}\qquad s.t.\quad p_j\in[\overline p_{-j}-t,\overline p_{-j}+t]$

该问题的一阶充要条件为：

$t+\overline p_{-j}+c-2p_j\begin{cases}\leq0,&p_j=\overline p_j-t\\=0,&p_j\in(\overline p_j-t,\overline p_j+t)\\\geq0,&p_j=\overline p_j+t\end{cases}$

解得企业 $j$ 的最优反应函数为：

$b(\overline p_{-j})=\begin{cases}\overline p_{-j}+t,&\overline p_{-j}\leq c-t\\(t+\overline p_j+c)/2,&\overline p_{-j}\in(c-t,c+3t)\\\overline p_{-j}-t,&\overline p_{-j}\geq c+3t\end{cases}$

intuition：

①若 $\overline p_{-j}+t\leq\frac{t+\overline p_{-j}+c}{2}$ ，或 $\overline p_{-j}\leq c-t$

即使企业 $j$ 设置了最高可行价格，仍然低于利润最大化水平，但是企业 $j$ 没有激励去进一步提高价格

②若 $\overline p_{-j}-t\geq\frac{t+\overline p_{-j}+c }{2}$ ，或 $\overline p_{-j}\geq c+3t$

即使企业 $j$ 设置了最低可行价格，仍然高于利润最大化水平，但是企业 $j$ 没有激励去进一步降低价格

③若 $\overline p_{-j}-t<\frac{t+\overline p_{-j}+c}{2}<\overline p_{-j}+t$

企业最大化问题会使两个企业获得正销售额

对称纳什均衡仅在价格区间上出现 $p^*=\frac{t+p^*+c}{2}$ ，即 $p^*=c+t$

在纳什均衡上，每个企业的销售额为 $M/2$ ，有利润 $tM/2$

当 $t$ 趋向于0时，产品趋向于无差异的，且均衡价格趋向于 $c$

当 $t$ 增加时，产品差异性增加，均衡价格和利润增加

重复Bertrand博弈

两个企业；历史可被观测；贴现率 $0<\delta<1$ ；每个企业最大化其贴现收益 $\sum_{t-1}^\infty\delta^{t-1}\pi_{jt}$

企业的策略：在每一个时刻 $t$ 选择价格，以两个企业的所有过去价格为信息 $H_{t-1}=\{p_{1t},p_{2t}\}_{\tau=1}^{t-1}$

一个策略被称为报复，若将其价格降低到门限水平以下

多期重复博弈，允许企业进行更多的合作产出

在有限重复Bertrand博弈中，唯一的纳什均衡 $(c,c)$ 在每一时期中实施，同时也是唯一的子博弈纳什均衡

在无限重复Bertrand博弈中，纳什回复策略/触发策略

考虑下列企业 $j=1,2$ 的策略：

$p_{jt}(H_{t-1})=\begin{cases}p^m,&H_{t-1}=(p^m,p^m)\\c,&otherwise\end{cases}$

排除具体的历史状态，每一个子博弈相当于一个初始博弈

proposition 12.D.1：

无限重复Bertrand模型存在子博弈纳什均衡，当且仅当 $\delta\geq\frac{1}{2}$

两个可能的历史：

①存在对先前历史的偏离

$(c,c)$ 是纳什均衡，因为纳什回复策略是纳什均衡

②不存在对先前历史的偏离

intuition：

①企业面临在当前偏离的收益和未来的损失之间进行权衡

②贴现率越高，未来损失的权重越高，因此有越小的激励去偏离

给定对手的选择 $p^m$ ，考虑企业 $j$ 的选择

如果偏离，最优反应为 $p^m-\tau$ ，获得 $(p^m-\tau-c)x(p^m)\approx (p^m-c)x(p^m)=\pi^m$

自此以后，对手选择 $c$ ，企业 $j$ 的最优反应为 $c$ ，总是获得0

如果不偏离，贴现收益为 $(p^m-c)\frac{1}{2}x(p^m)(1+\delta+\delta^2+...)=\frac{1}{2}\pi^m\frac{1}{1-\delta}$

当 $\frac{1}{2}\pi^m\frac{1}{1-\delta}\geq\pi^m$ ，即 $\delta\geq\frac{1}{2}$ 时，企业 $j$ 偏好不进行偏离，则 $p_{jt}(H_{t-1})$ 为子博弈纳什均衡

一般化至 $J>2$ 个企业

如果偏离，获得 $\pi^m$

如果不偏离，获得 $\frac{1}{J}\pi^m(1+\delta+\delta^2+...)=\frac{1}{J}\pi^m\frac{1}{1-\delta}$

当 $\frac{1}{J}\pi^m\frac{1}{1-\delta}\geq\pi^m$ ，即 $\delta\geq\frac{J-1}{J}$ 时，企业不进行偏离，但并非唯一的子博弈纳什均衡

当 $J\rightarrow\infty$ ，合作结果转化为竞争结果

proposition 12.D.2：

在无线重复Bertrand博弈中，当 $\delta\geq\frac{1}{2}$ ，对于价格 $p\in[c,p^m]$ 的重复选择，使用纳什回复策略，会形成子博弈纳什均衡路径

相反，当 $\delta<\frac{1}{2}$ ，所有的子博弈纳什均衡路径，应有每时刻价格为 $c$

对于价格 $p\in[c,p^m]$ ，有 $p_{jt}=\begin{cases}p,&H_{t-1}=(p,p)\\c,&otherwise\end{cases}$

对于 $\delta$ 不连续的子博弈纳什均衡，即重复Bertrand模型的特殊性质

重复Cournot博弈

两个企业；边际成本 $c$ ；市场需求 $p=a-Q$ ；产量竞争；历史可观测；贴现率 $0<\delta<1$ ；每个企业最大化其贴现收益 $\sum_{t-1}^\infty\delta^{t-1}\pi_{jt}$

唯一的纳什均衡： $q_1=q_2=q^c=\frac{a-c}{3},\pi_c=\frac{(a-c)^2}{9 }$

合作以形成垄断： $q_1=q_2=\frac{1}{2}q^m=\frac{a-c}{4},\frac{1}{2}\pi^m=\frac{(a-c)^2}{8 }$

纳什回复策略： $q_{jt}=\begin{cases}\frac{1}{2}q^m,&H_{t-1}=(\frac{1}{2}q^m,\frac{1}{2}q^m)\\q^c,&otherwise\end{cases}$

寻求合适的贴现率，使得纳什回复策略成为子博弈纳什均衡

如果偏离在之前的历史里不出现，且对手选择 $\frac{1}{2}q^m$ ，那么企业 $j$ 有两个选择：

①如果永不偏离，每期获得 $\frac{1}{2}\pi^m$ ，则贴现后获得 $\frac{1}{2}\pi^m(1+\delta+\delta^2+...)=\frac{1}{2}\pi^m\frac{1}{1-\delta}$

②如果偏离，最优偏离为 $q^D=\arg\max_q[a-b(q+\frac{1}{2}q^m)-c] q$ ，这里 $b=1$

得 $q^D=\frac{3(a-c)}{8}$ ，获得 $\pi^D=\frac{9(a-c)^2}{64}$

自此以后，对手选择 $q^c$ ，故企业 $j$ 也选择 $q^c$ ，获得 $\pi^c$

贴现后获得 $\pi^D+\pi^c(\delta+\delta^2+...)=\pi^D+\frac{\delta}{1-\delta}\pi^c$

当 $\frac{1}{2}\pi^m\frac{1}{1-\delta}\geq\pi^D+\frac{\delta}{1-\delta}\pi^c$ ，即 $\delta\geq\frac{9}{17}$ 时，企业不进行偏离

但是当 $\delta<\frac{9}{17 }$ 时，仍存在可以达到的最优合作：

对于 $\forall\delta\in(0,\frac{9}{17})$ ，存在 $q^*\in(\frac{1}{2}q^m,q^c)$

两个企业进行合作，各自生产 $q^*$ ，得到重复博弈的子博弈纳什均衡，有以下策略：

$q_{jt}=\begin{cases}q^*,&H_{t-1}=(q^*,q^*)\\q^c,&otherwise\end{cases}$

收益 $\pi^*=(a-2bq^*-c)q^*$

①如果永不偏离，每期获得 $\pi^*$ ，贴现后获得 $\pi^*(1+\delta+\delta^2+...)=\frac{1}{1-\delta}\pi^*$

②如果偏离，最优偏离为 $q^D=\arg\max_q[a-b(q+q^*)-c]q$

得 $q^D=\frac{a-q^*-c}{2}$ ，获得 $\pi^D=\frac{(a-q^*-c)^2}{4}$

自此以后，对手选择 $q^c$ ，故企业 $j$ 也选择 $q^c$ ，获得 $\pi^c$

贴现后获得 $\pi^D+\pi^c(\delta+\delta^2+...)=\pi^D+\frac{\delta}{1-\delta}\pi^c$

当 $\frac{1}{1-\delta}\pi^*\geq\pi^D+\frac{\delta}{1-\delta}\pi^c$ ，即 $\frac{(9-5\delta)(a-c)}{3(9-\delta)}\leq q^*\leq \frac{a-c}{3}$ 时，企业不进行偏离

对于 $\forall \delta<\frac{9}{17},\forall q\in(\frac{(9-5\delta)(a-c)}{3(0-\delta)},q^c)$ ，有以下合作策略：

$q_{jt}=\begin{cases}q^*,&H_{t-1}=(q^*,q^*)\\q^c,&otherwise\end{cases}$

由 $q^*=\frac{(9-5\delta)(a-c)}{3(9-\delta)}$ 随着 $\delta$ 递减，则有

当 $\delta\rightarrow\frac{9}{17}$ 时， $q^*\rightarrow\frac{1}{2}q^m$ ，最优合作

当 $\delta\rightarrow0$ 时， $q^*\rightarrow q^c$ ，无合作

对于 $\delta$ 更为平滑的子博弈纳什均衡，且为无名氏定理（folk theorem）的一个例子

the Folk Theorem：Gibbons 2.3

Theorem：

令 $G$ 为有限静态完全信息博弈，令 $(e_1,...,e_n)$ 为其一个纳什均衡的收益，令 $(x_1,...,x_n)$ 为其任意其他可行收益

若 $x_i>e_i,\forall i$ 且 $\delta$ 足够接近于1，则存在无限重复博弈 $G(\infty,\delta)$ 的子博弈纳什均衡，达到 $(x_1,...,x_n)$ 作为平均收益

another example：

proof：

假定收益 $(e_1,...,e_n)$ 由策略 $(a_{e_1},...,a_{e_2})$ 生成，收益 $(x_1,...,x_n)$ 由策略 $(a_{x_1},...,a_{x_n})$ 生成

触发策略：

$S_{it}(H_{t-1})=\begin{cases}a_{x_i},&H_{t-1}=(a_{x_1},...,a_{x_n})\\a_{e_i},&otherwise\end{cases}$

寻找贴现率 $\delta$ 使得 $(S_{1t},...,S_{nt})$ 为子博弈纳什均衡

如果偏离出现在之前的阶段，其他参与者实行 $a_{e_{-i}}$ ，则参与者 $i$ 实行 $a_{e_i}$

如果偏离不出现在之前的阶段，其他参与者实行 $a_{x_{-i}}$ ，则参与者 $i$ 有两个选择：

①参与者 $i$ 永不偏离，每期获得 $x_i$ ，贴现后获得 $x_i(1+\delta+\delta^2+...)=\frac{1}{1-\delta}x_i$

②参与者 $i$ 偏离，最优选择为 $a_{d_i}=\arg\max_{a_i}u_i(a_i,a_{x_{-i}})$ ，获得一个较高的收益 $d_i\geq x_i>e_i$

自此以后，其他参与者实行 $a_{e_{-i}}$ ，参与者 $i$ 实行 $a_{e_i}$

贴现后获得 $d_i+e_i(\delta+\delta^2+...)=d_i+\frac{\delta}{1-\delta}e_i$

当 $\frac{1}{1-\delta}x_i\geq d_i+\frac{\delta}{1-\delta}e_i$ ，即 $\delta\geq\frac{d_i-x_i}{d_i-e_i }$ 时，企业不进行偏离

此时 $(x_1,...,x_n)$ 由子博弈纳什均衡 $\{(S_{1t},...,S_{nt})\}_{t=1}^\infty$ 达到

软硬兼施策略：Gibbons 2.3.C

对参与者威胁实行最大强度的可行惩罚，即以一期惩罚代替无限期惩罚，参与者可控制惩罚的时效性

尽管触发策略不能达到完全合作，一期惩罚可以达到，只要惩罚力度够大

给定其他企业实行的策略，企业 $i$ 面临两个可能的历史

①在先前阶段，有一个企业生产 $x,\frac{1}{2}q^m$ 之外的产量

另一个企业生产 $x$ ，而这个企业有两个选择：生产 $x$ 或偏离

②在先前阶段，两个企业均生产 $x,\frac{1}{2}q^m$ 之中的产量

另一个企业生产 $\frac{1}{2}q^m$ ，而这个企业有两个选择：生产 $\frac{1}{2}q^m$ 或偏离

如果企业 $i$ 生产 $x$ ，获得 $\pi(x)=(a-2x-c)x$

从下一阶段开始，企业都生产 $\frac{1}{2}q^m$ ，贴现后获得 $\pi(x)+\frac{1}{2}\pi^m\frac{\delta}{1-\delta}$

给定另一个企业的产量 $x$ ，如果企业 $i$ 偏离

则最优偏离为 $q=\arg\max_q(a-x-q-c)q$ ，得 $q=\frac{a-x-c}{2}$ ，获得 $\pi_{dp}=\frac{(a-x-c)^2}{4}$

从下一个阶段开始，另一个企业生产 $x$ ，企业 $i$ 依旧偏离 $q$ ，贴现后获得 $\frac{1}{1-\delta}\pi_{dp}$

当 $\pi(x)+\frac{1}{2}\pi^m\frac{\delta}{1-\delta}\geq\frac{1}{1-\delta}\pi_{dp }$ ，即 $\frac{\delta}{1-\delta}(\frac{1}{2}\pi^m-\pi_{dp})\geq\pi_{dp}-\pi(x)\quad(1)$ 时，企业 $i$ 生产 $x$

假定在时刻 $t-1$ ，两个企业都生产 $x,\frac{1}{2}q^m$ 之中的产量

另一个企业生产 $\frac{1}{2}q^m$ ，企业 $i$ 有两个选择：

①如果企业 $i$ 生产 $\frac{1}{2}q^m$ ，获得 $\frac{1}{2}\pi^m$ ，贴现后得到 $\frac{1}{2}\pi^m\frac{1}{1-\delta}$

②如果企业 $i$ 偏离，最优偏离为 $q^d=\arg\max_q(a-\frac{1}{2}q^m-q-c)q$

得 $q^d=\frac{3(a-c)}{8}$ ，获得 $\pi_d=\frac{9(a-c)^2}{64}$

下一阶段另一个企业生产 $x$ ，则企业 $i$ 生产 $x$ 若 $(1)$ 成立

贴现后获得 $\pi_d+\delta[\pi(x)+\frac{1}{2}\pi^m\frac{\delta}{1-\delta}]$

当 $\frac{1}{2}\pi^m\frac{1}{1-\delta}\geq\pi_d+\delta[\pi(x)+\frac{1}{2}\pi^m\frac{\delta}{1-\delta}]$ ，即 $\delta[\frac{1}{2}\pi^m-\pi(x)]\geq\pi_d-\frac{1}{2}\pi_m \quad(2)$ 时，企业不进行偏离

若 $(1)(2)$ 均成立，则企业实行合作策略以达到子博弈纳什均衡

example

若 $\delta=\frac{1}{2}$

条件转化为 $\begin{cases}\frac{8}{3}\leq\frac{a-c}{x}\leq8,&(1)\\\frac{3}{10}\leq\frac{x}{a-c}\leq\frac{1}{2},&(2)\end{cases}\Rightarrow\frac{3(a-c)}{8}\leq x\leq\frac{a-c}{2}$

$x$ 越高，惩罚越强

当 $x>\frac{1}{2}q^m=\frac{a-c}{4}$ 时，较高的产量意味着较低的价格，以及较低的收益

$\delta$ 越高，惩罚越强

较高的 $\delta$ 意味着未来损失的权重较高，则在当前阶段有更低的激励去偏离

可以考虑这样的问题：另一个企业生产 $\frac{1}{2}q^m$ ，企业 $i$ 自己生产 $q^d$ ，即一个更可信的惩罚

准入：

考虑市场中的厂商数量为内生的

假定：无限个同质潜在企业想要进入市场

二阶段过程：

$t=1$ ，所有潜在企业同时决定是否进入，并且如果进入则支付成本 $K$

$t=2$ ，所有进入市场的企业进行垄断竞争

考虑该博弈的子博弈纳什均衡

向后递归：

①假设在 $t=2$ 存在唯一对称纳什均衡

②如果市场中有 $J$ 个企业，每个企业获得均衡收益 $\pi_J$

③在 $t=1$ ，企业决定是否进入 $\pi_J\geq K$

④因而如果均衡下存在 $J^*$ 个企业，则必须有 $\pi_{J^*}\geq K,\pi_{J^*+1}<K$

Cournot竞争的均衡准入

$p=a-bQ,c(q)=cq,a>c\geq0,b>0$

时刻 $t=2$ ，给定 $J$ 个企业，有 $q_J=\frac{a-c}{(J+1)b},\pi_J=\frac{1}{b}(\frac{a-c}{J+1})^2$

有 $\pi_J$ 随着 $J$ 递减，且 $J\rightarrow\infty$ 时， $\pi_J\rightarrow0$

时刻 $t=1$ ，存在 $\tilde J$ 使得 $\pi_{\tilde J}=K$ ，得 $\tilde J=\frac{a-c}{\sqrt{bK}}-1$

$J^*$ 是满足 $J^*\leq \tilde J$ 的最大整数

当 $K$ 减小时， $J^*$ 上升，总产量 $Q^*=J^*q_{J^*}=\frac{J^*}{J^*+1}\frac{a-c}{b}$ 上升，价格 $p$ 下降

当 $K\rightarrow0$ 时， $J^*\rightarrow\infty$ ，产出和价格接近于竞争性结果

Bertrand竞争的均衡准入

时刻 $t=2$ ，有 $\pi_1=\pi^m$ ，但是 $\pi_J=0,\forall J\geq2$

时刻 $t=1$ ，

若 $\pi^m\geq K$ ，均衡为 $J^*=1$ ，垄断生产和价格

若 $\pi^m<K$ ，没有进入

即第二期的强竞争导致市场整体的不充分竞争

福利和准入

如果市场中有 $J$ 个企业，每一个企业获得 $\pi_J=p(Jq_J)q_J-c(q_J)$

$J$ 个企业的总福利： $w(J)=\int_0^{Jq_J}p(s)ds-Jc(q_J)-JK$

Example 12.E.3：

Cournot竞争下的最优社会准入

给定 $p=a-Q$

总福利最大化： $\max_Jw(J)=\int_0^{Jq_J}(a-bs)ds-Jcq_J-JK$

一阶条件为： $(\overline J+1)^3=\frac{(a-c)^2}{bK }$

与个人最优对比： $(\tilde J+1)^2=\frac{(a-c)^2}{bK}$

得等式 $(\overline J+1)^3=(\tilde J+1)^2$

有成对均衡： $(\tilde J,\overline J):(7,3),(26,8) ,...$

考虑一个例子：

假定两步竞争满足下列三个条件：

（A1）若 $J>J^\prime$ ，则 $J_{q_J}\geq J^\prime_{q_{J^\prime}}$

（A2）若 $J\geq J^\prime$ ，则 $q_J<q_{J^\prime}$

（A3）对 $\forall J$ ，有 $p(J_{q_J})-c^\prime(q_J)\geq0$

当企业进入，总产出增加

商业挤出：当额外的企业进入，原先存在企业的份额减少

无论企业的个数，价格不会降低到边际成本以下

Proposition 12.E.1：

假定条件（A1）（A2）（A3）对一个预先进入垄断竞争模型成立，且有 $p^\prime(\cdot)<0,c^{\prime\prime}(\cdot)>0$ ，则均衡进入企业数量，至少为 $J^0-1$ ，其中 $J^0$ 为社会最优进入企业数量

Proof

当 $J^0=1,J^*\geq1$ ，定理成立

当 $J^0>1$ ，要证明 $J^*\geq J^0-1$ ，需要证明 $\pi_{J^0-1}\geq K$

由 $J^0$ 的定义，得 $w(J^0)-w(J^0-1)\geq0$

或 $\int_{Q_{J^0-1}}^{Q_{J^0}}p(s)ds-J^0c(q_{J^0})+(J^0-1)c(q_{J^0-1})\geq K$ ，其中 $Q_J=J_{q_J}$

得 $\begin{align*}&\pi_{J^0-1}-K\\=&p(Q_{J^0-1})q_{J^0-1}-c(q_{J^0-1})-K\\\geq&p(Q_{J^0-1})q_{J^0-1}-\int_{Q_{j^0-1}}^{Q_{J^0}}p(s)ds+J^0[c(q_{J^0})-c(q_{J^0-1})]\\\geq&p(Q_{J^0-1})(q_{J^0-1}-Q_{J^0}+Q_{J^0-1})+J^0[c(q_{J^0})-c(q_{J^0-1})]\\\geq& [p(Q_{J^0-1})-c^\prime(q_{J^0-1})]J^0(q_{J^0-1}-q_{J^0})\geq0\end{align*}$

企业 $J^0$ 加入的福利增量为 $S_{abcd}$

若 $J^0$ 为最优，则 $S_{abcd}\geq K$

但 $\begin{align*}S_{abcd}&\leq p(Q_{J^0-1})[Q_{J^0}-Q_{J^0-1}]=p(Q_{J^0-1})[J^0q_{J^0}-(J^0-1)q_{J^0-1}]\\&\leq p(Q_{J^0-1})q_{J^0-1}=\pi_{J^0-1}=S_{abfg}\end{align*}$

得 $\pi_{J^0-1}\geq K$

有 $w(J)=[p(Q_J)q_J-c(q_J)-K]J$

则 $\frac{\partial w(J)}{\partial J}=p(Q_J)q_J-c(q_J)-K+[p(Q_J)-c^\prime(q_J)]J\frac{\partial q_J}{\partial J}$

由 $\frac{\partial w(J)}{\partial J}|_{J=J^0-1}>0,p(Q_J)-c^\prime(q_J)\geq0,\frac{\partial q_J}{\partial J}\leq0$

得 $\pi_{J^0}-K=p(Q_J)q_J-c(q_J)-K>0$

由于新进入的企业不会考虑已进入企业的损失，因此与社会最优结果相比，存在过度进入

同样存在进入不足，且只在 $J^0=1$ 的情形

社会最优结果要求 $S_{fbde}\geq K$ ，但是当企业选择是否进入时，仅考虑 $S_{abde}$

可能会出现 $S_{fbde}\geq K>S_{abde}$ ，则没有企业进入

影响未来竞争的预承诺策略

在垄断竞争之前，企业有激励去作出预承诺策略以影响未来的竞争

两阶段垄断竞争模型

时刻 $t=1$ ，企业1作出可观测的战略性投资 $k$

时刻 $t=2$ ，企业1和2进行垄断竞争 $(s_1,s_2)$ ，分别获得 $\pi_1(s_1,s_2,k),\pi_2=(s_1,s_2)$

假设给定 $k$ ，在第二期存在唯一的纳什均衡 $(s_1^*(k),s_2^*(k))$

设 $\frac{\partial \pi_1(s_1,s_2,k)}{\partial s_2}<0,\frac{\partial \pi_2(s_1,s_2)}{\partial s_1}<0$ ，即竞争性行为

向前递归：给定 $k$ ，在时刻 $t=2$ ，最优反应 $b_1(s_2,k),b_2(s_1)$

对于纳什均衡 $(s_1^*,s_2^*)$ ，有 $\begin{cases}s_1^*=b_1(s_2^*,k)\\s_2^*=b_2(s_1^*)=b_2(b_1(s_2^*,k))\end{cases}$ ，解得 $s_1^*(k),s_2^*(k)$

全微分，得 $\frac{ds_2^*(k)}{dk }=\frac{\partial b_2(s_1^*(k))}{\partial s_1}[\frac{\partial b_1(s_2^*(k),k)}{\partial s_2}\frac{ds_2^*(k)}{dk}+\frac{\partial b_1(s_2^*(k),k)}{\partial k }]$

得 $[1-\frac{\partial b_2(s_1^*(k))}{\partial s_1}\frac{\partial b_1(s_2^*(k),k)}{\partial s_2}]\frac{ds_2^*(k)}{dk}=\frac{\partial b_2(s_1^*(k))}{\partial s_1}\frac{\partial b_1(s_2^*(k),k)}{\partial k}$

example 12.G.1：通过投资降低边际成本

投资 $k$ ，有 $c^\prime(k)<0$

①考虑时刻 $t=2$ 的Cournot竞争，有 $\frac{\partial b_2(q_1)}{\partial q_1}<0$ ，即战略性替代

若 $k:k^\prime\uparrow k^{\prime\prime }$ ，则 $c\downarrow,q_1\uparrow,q_2\downarrow,\pi_1\uparrow$

事实上，最大化问题： $\max_{q_1}p(q_1+q_2)q_1-c(k)q_1$

对 $q_1$ 微分，得一阶条件： $p^\prime(q_1+q_2)q_1+p(q_1+q_2)-c(k)=0$

对 $k$ 微分，得： $(p^{\prime\prime}+2p^\prime)\frac{\partial q_1}{\partial k}-c^\prime(k)= 0$

②考虑时刻 $t=2$ 的Bertrand竞争，企业有策略 $p_i$ 或 $s_i=\frac{1}{p_i}$ ，此时 $\frac{\partial \pi_i(p_i,p_j)}{\partial s_j}<0$

有 $\frac{\partial p_i(p_j)}{\partial p_j}>0$ ，即战略性互补

若 $k:k^\prime\uparrow k^{\prime\prime }$ ，则 $c\downarrow,p_1\downarrow,\pi_1\uparrow$ 与 $c\downarrow,p_1\downarrow,p_2\downarrow,s_2\uparrow,\pi_1\downarrow$ 两个效应

回到时刻 $t=1$ ，最大化问题： $\max_k\pi_1(s_1^*(k),s_2^*(k),k)$

有 $\frac{d\pi_1}{dk}=\frac{\partial\pi_1}{\partial s_1}\frac{ds_1^*(k)}{dk}+\frac{\partial \pi_1}{\partial s_2}\frac{ds_2^*(k)}{dk}+\frac{\partial \pi_1}{\partial k}=\frac{\partial \pi_1}{\partial k}+\frac{\partial \pi_1}{\partial s_2}\frac{ds_2^*(k)}{dk}$

其中 $\frac{\partial \pi_1}{\partial k}$ 为直接影响， $\frac{\partial \pi_1}{\partial s_2}\frac{ds_2^*(k)}{dk}$ 为间接影响