leetcode做题心得52(最大子序和)

最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

题解思路：动态规划的没毛病，分支算法暂时还没搞懂

dp代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0]=nums[0];
        int max=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
            max=max>dp[i]?max:dp[i];
        }
        return max;
    }
}

分治部分来源于本题leetcode官方解析
思路和算法

这个分治方法类似于「线段树求解 LCIS 问题」的 pushUp 操作。也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐看一看线段树区间合并法解决多次询问的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。

我们定义一个操作 get(a, l, r) 表示查询 aa 序列 [l, r][l,r] 区间内的最大子段和，那么最终我们要求的答案就是 get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治实现这个操作呢？对于一个区间 [l, r]，我们取 m=[(l+r)/2]
，对区间 [l, m]和 [m+1,r] 分治求解。当递归逐层深入直到区间长度缩小为 1 的时候，递归「开始回升」。这个时候我们考虑如何通过 [l, m]区间的信息和 [m+1,r] 区间的信息合并成区间 [l, r] 的信息。最关键的两个问题是：

我们要维护区间的哪些信息呢？
我们如何合并这些信息呢？
对于一个区间 [l, r]，我们可以维护四个量：

lSum 表示 [l, r] 内以 l为左端点的最大子段和
rSum 表示 [l, r] 内以 r 为右端点的最大子段和
mSum 表示 [l, r] 内的最大子段和
iSum 表示 [l, r] 的区间和
以下简称 [l, m] 为 [l, r] 的「左子区间」，[m+1,r] 为 [l,r] 的「右子区间」。我们考虑如何维护这些量呢（如何通过左右子区间的信息合并得到 [l,r] 的信息）？对于长度为 1 的区间 [i,i]，四个量的值都和ai相等。对于长度大于 1 的区间：

首先最好维护的是 iSum，区间[l,r] 的 iSum 就等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 iSum。
对于 [l,r] 的 lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 lSum，要么等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 lSum，二者取大。
对于 [l, r] 的 rSum，同理，它要么等于「右子区间」的 rSum，要么等于「右子区间」的 iSum 加上「左子区间」的 rSum，二者取大。
当计算好上面的三个量之后，就很好计算 [l, r]的 mSum 了。我们可以考虑 [l, r] 的 mSum 对应的区间是否跨越 m，它可能不跨越 m，也就是说 [[l,r] 的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和「右子区间」的 mSum 中的一个；它也可能跨越 m，可能是「左子区间」的 rSum 和「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。
这样问题就得到了解决。

分治代码：

class Solution {
    public class Status {
        public int lSum, rSum, mSum, iSum;

        public Status(int lSum, int rSum, int mSum, int iSum) {
            this.lSum = lSum;
            this.rSum = rSum;
            this.mSum = mSum;
            this.iSum = iSum;
        }
    }

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return getInfo(nums, 0, nums.length - 1).mSum;
    }

    public Status getInfo(int[] a, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return new Status(a[l], a[l], a[l], a[l]);
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        Status lSub = getInfo(a, l, m);
        Status rSub = getInfo(a, m + 1, r);
        return pushUp(lSub, rSub);
    }

    public Status pushUp(Status l, Status r) {
        int iSum = l.iSum + r.iSum;
        int lSum = Math.max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
        int rSum = Math.max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);
        int mSum = Math.max(Math.max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);
        return new Status(lSum, rSum, mSum, iSum);
    }
}

个人认为最有价值的两句话：
区间的哪些信息是需要维护的
如何合并这些信息
这是解决分治问题时所需要思考的问题