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浮点数的表示
加减
存储格式
特殊的数

1.浮点数的表示

1.1 表示格式

浮点数，顾名思义，是小数点不固定的数。计算机中，根据小数点位置是否固定，分为两种数据格式，一种小数点不固定，另一种是定点数，小数点固定。

书上科学地对浮点数表示法的定义是，以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动。我们计算机的容量有限，不可能对每个数都用特别多的位数来表示，如2×10^99，这种非常大的数不可能用定点数来表示，所以利用浮点数可以在位数有限的情况下扩大数的表示范围，同时保持一定的有效精度。

通常情况下，浮点数表示为：N = r ^ E × M

r 是浮点数阶码的底，在计算机中是隐含的，通常情况下r=2
E叫做阶码，是带符号的定点数，E的大小越大，能表示的数范围越大
M叫做尾数，是带符号的定点数，M的位数越大，数的有效精度越高

如1.111×2¹⁰⁰，1.111是尾数，100是阶码，阶码位数为3位，尾数位数是4位。若阶码位数有4位，尾数位数是3位（总占位数不变），那这个数表示为1.11×2⁰¹⁰⁰，能表示的数的范围变大，原来尾数1.111转变为1.11损失了0.001，这就是精度的损失。

浮点数的一般格式：

这里J是阶符，表示阶码的符号，S是数符，表示浮点数的符号，阶符J和阶码的m位合起来表示浮点数的表示范围和小数点的实际位置，n位尾数反映了浮点数的精度。

1.2 规格化

同一个浮点数可以有很多表现形式，如1.111×2³，可以表示为0.1111×2⁴或11.11×2²。如果尾数位数只有4位，表示同一个数1111可以采取两种方法， 0.0111x2⁵ 和 0.1111×2⁴（二者最高为是数符位S），可以很清晰地看到，如果采用阶码为5的方法，我们损失了一位精度，阶码为4的方法表示这个数更为精确。

所以，为了提高运算精度，就要充分利用尾数的有效数位，也就是浮点数的规格化，即规定尾数的最高数位必须是一个有效值。非规格化数转变为规格化数，转变过程就是通过调整尾数和阶码的大小，使尾数最高位保证是一个有效值。通常有两种规格化操作：

左规：当浮点数运算结果是非规格化数的时候，要进行规格化操作，将尾数算术左移一位，阶码减1（基数为2时），左规操作可能要进行多次。
右规：当浮点数运算结果尾数出现溢出的时候，将尾数算术右移一位，阶码加1。需要右规操作的时候只需要操作一次。

规格化浮点数的尾数M的绝对值应该满足这样的关系：1/r ≤ |M| ≤ 1（r就是我们的阶码的底，也是基数）。

以r=2为例：

原码尾数规格化后：正数为0.1xxxxxx形式，最大值为0.11......1;最小值为0.100......0。负数为1.1xxxxxx形式，最大值表示为1.10......0;最小值表示为1.11......1。
补码尾数规格化后：正数同原码正数。负数为1.0xxxxxx形式，最大值表示为1.01......1;最小值表示为1.00......0。

需要注意的是基数，刚刚是以基数为2时的规格化形式，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。基数不同的时候，规格化的形式不同，当基数为4时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为0；基数为8时，原码规格化形式的尾数最高三位不全为0。

如何判断一个浮点数是否是规格化数：规格化浮点数的尾数小数点后的第一位一定是个非零的数。因此对于原码编码的尾数来说，只要看尾数的第一位是否为1就行；对于补码表示的尾数，只要看符号位和尾数最高位是否相反。（IEEE 754标准的浮点数尾数是用原码编码的）

2.加减

浮点数运算的特点是阶码运算和尾数运算分开来算。加减运算一律采用补码。具体运算分为以下几步。

对阶：目的是让两个数小数点的位置看齐，使两个数的阶码相等。显然1.1×2³ 和1.1×2⁴ 是不能直接相加减的。原则是小阶向大阶看齐，像这个例子，就是1.1×2³ 的尾数右移一位，阶码加一，直到两个数的阶码相等
尾数求和：阶码对齐之后直接按照定点数的加减法则运算尾数
规格化：尾数求和后的结果如果不是规格化数需要规格化，以双符号位运算为例，如果运算结果为正数，规格化的形式应该是00.1xxx......x，如果运算结果为负数，规格化后的形式应该是11.0xxx......x，不符合这种形式的数要进行左规或者右规的操作让其变成这种形式。（在尾数没有溢出的情况下，即尾数结果的双符号为不是10或01的时候，操作都是左规操作，左规操作可能不止进行一次，倘若双符号位为01或10则表明尾数已经溢出了，就要进行右规操作，右规只需要进行一次）
舍入：在对阶和右规的操作中都是将尾数右移，阶码加一，由于位数是有限的，在右移的操作过程中很有可能就将低位的尾数丢失，引起误差和精度问题。常用的减小误差的方法有“0”舍“1”入法：即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0则舍去，如果被移去的最高数值位为1则在尾数末位加1，如果加1之后又产生溢出则再右规操作一次。恒置“1”法：看名字就可以知道，无论丢掉的最高数值位是1还是0，都使右移后的尾数末位置1。这种方法可能使尾数变大或者变小。
溢出判断：既然定点数运算可能溢出，浮点数同样也会溢出，我们已经知道浮点数的表示方法和加减运算规则，既然是溢出，那么肯定是超出了浮点数能表示的范围，浮点数的范围主要是由阶码决定的，如果运算结果规格化后阶码产生了溢出，那才是浮点数的溢出。浮点数的溢出与否是由阶码的符号决定的。以双符号位的补码为例，如果阶码的符号位出现01或10则说明阶码溢出了，01表示阶码大于最大阶码，上溢，进入中断处理；10表示阶码小于最下阶码，下溢，按机器零处理。（溢出时真值的符号位和高位符号位保持一致）还要注意的一点是尾数之和（差）可能会造成尾数的溢出，这并不代表整个的溢出，需要右规一次看阶码是否溢出才能判断。

3.存储格式

IEEE754标准规定，浮点数由“符号”、“指数”和“尾数”3部分构成：

下表列出C++中不同精度浮点数内存布局：

精度	C++类型	长度	符号位数	指数位数	尾数位数	有效位数	指数偏移	隐含位
单精度浮点数	float	32	1	8	23	24	127	1个隐含位
双精度浮点数	double	64	1	11	52	53	1023	1个隐含位
扩展双精度浮点数	long double	80	1	15	64	64	16383	无隐含位

float的规格化表示为：±1.f×2^E−127，f是尾数，E是指数。以float为例：

比如十进制数123.125，其二进制表示为：1111011.001，规格化表示为：1.111011001×2⁶，也就是1.111011001×2^133−127，f = 111011001，E = 133，二进制为10000101，图示如下：

规格化表示的浮点数，整数位固定为1，可以省略，所以用23位可以存储24位的尾数。这里可以得出一个结论：任意一个int值（二进制表示），只要存在这样的序列：从最低位开始找到第一个1，然后从这个1向高位数移动24位停下，如果更高的位上不再有1，那么该int值即可被float精确表示，否则就不行。简单说，就是第一个1开始到最后一个1为止的总位数超过24，那么该int值就不能被float类型精确表示，例：

图中能被丢弃的0，在指数上体现出来，丢弃一个0，指数就加1，丢弃n个0，指数就加n，并没有损失精度。

很容易得出，从1开始的连续整数里面第一个不能被float精确表示的整数，其二进制形式为：1 00000000 00000000 00000001，即16777217：1.00000000 00000000 00000001×2²⁴，f有24位，最后一个1只能舍弃，也就是 1.00000000 00000000 0000000×2²⁴，即1.0×2²⁴，这个数实际上是16777216。也就是说16777217和16777216的内存表示是一样的：

那么16777217之后的下一个可以被float精确表示的int值是多少呢？很简单，向16777217上不断的加1，直到满足“第一个1开始到最后一个1为止的总位数为24位”：

1 00000000 00000000 00000010就是16777218，规格化表示为：
1.00000000 00000000 0000001×2²⁴=1.00000000 00000000 0000001×2^151−127

其f是23位（最后一位是1）。

2.原理

二进制的浮点数，其科学记数法的形式为：
$±X_nX_{n-1}...X_{0}.X_{-1}X_{-2}...X_{-m} = ±X_{n}.X_{n-1}...X_{0}X_{-1}X_{-2}...X_{-m} × 2^n$

其中 $X_i$ 只能是0或1。规格化表示为：
$±X_nX_{n-1}...X_{0}.X_{-1}X_{-2}...X_{-m} = ±1.X_{n-1}...X_{0}X_{-1}X_{-2}...X_{-m} × 2^n$

即约定小数点位于最高位的1之后，因此 $X_n$ 不能是0。既然整数位只能是1，那么这一位可以不用存储，称之为隐含位。好处是可以多存储一位小数部分，但是在作浮点运算时需要特殊处理，运算之前要补齐这一位，运算之后又得略去这一位，会有一点性能损耗；如果有效位本来就足够多，省去整数位也赚不了多少便宜，这可能是扩展双精度浮点数不采用这种方案的原因。

指数n是一个普通的整数，可正可负（负指数表示纯小数），在计算机科学，整数编码一般采用补码（负数是其正数的反码+1），最高位是符号位（0表示正数，1表示负数），但IEEE754标准中，浮点数的指数使用了“真值 + 偏移值”的编码方式，将原码空间分成两部分，小的部分表示负数，大的部分表示正数。一般的，全0和全1都有特殊用途，以float为例，其指数部分有8位，原码空间就是0 ~ 255，不算0和255（全0和全1），剩下254个数，对半分即127，则N位指数的编码和原值有下列关系：
$E = e + 2^{N - 1} - 1$

其中，E：指数编码；e：指数真值。float类型的指数编码就是：E=e+127，[ 1,127 ) 是负数， [ 127, 254 ] 是正数，0和255有特殊用途。

3.分类

IEEE标准定义了6类浮点数：

指数	分类	隐含位	尾数	说明
xx…xx	有限数	1	xx…xx	指数非全0，非全1，有隐含位
00…00	0	0	0	尾数为0
00…00	弱规范数	无	xx…xx	尾数不是0
11…11	±∞	1	0	尾数不为0
11…11	QNaN	1	1xx…xx	尾数高位为1，但尾数不为0
11…11	SNaN	1	0xx…xx	尾数高位为0，但尾数不为0

3.1 有限数

有限数就是遵循规格化的常规数，其指数在最小数和最大数之间，且整数位恒为1，其形式为： $±1.f × 2^{E-offset}$

例如float，其指数E有8位，取值范围为 ( 0, 255 ) 也就是 [ 1, 254 ] 。有限数在运算过程中最常见的问题就是溢出，即运算结果无法用有限数表示。

3.2 零

0，有一位隐含位（为0），除符号位可能不为0外，其它所有位都为0，也就是说存在正0和负0，其形式为： $±(0.0) × 2^{0-offset}$

数学上，0没有正负之说，但按IEEE754标准，却有正负0之分（由符号位标识），注意：正0应该和负0相等，而不应正0大于负0。

3.3 弱规范数

弱规范数的指数和0一样，都是全0，但没有隐含位，尾数部分不为0，其形式为： $±(f) × 2^{0-offset}$

弱规范数的整数位是尾数的最高位。由于弱规范数没有隐含位，在向有限数转换时，要向高位移一位，以产生隐含位，但指数不变（不减1）；从有限数形式转换成弱规范数形式时，正好相反，向低位移1位，指数仍不变。

在计算过程中，如果中间结果小于最小的有限数却不是0，即出现下溢，如果当做0处理，可能会导致计算终止，引入“弱规范数”之后，在0和最小的有限数之间有相当一部分数可以表示为“弱规范数”，从而提高了计算能力。

3.4 无穷大

±∞，指数部分为全1（即最大值），整数位是1（是隐含位），尾数是0，其形式为： $±(1.0) × 2^{MAX-offset}$

float类型即： $±(1.0) × 2^{255-offset}$

产生∞的情形一般有：

自身运算，例如∞+1.0=∞
被0除，例如1/0=∞，1/−0=−∞
上溢，即计算结果超出了类型范围

3.5 NaN

NaN，即Not a Number，和∞一样，指数部分为全1（最大值），整数位是1（是隐含位），但尾数部分不为0，其形式为： $±(1.f) × 2^{MAX-offset}$

其中，f不为0。NaN有SNaN（Signal NaN）和QNaN（Quiet NaN）之分，IEEE标准要求：SNaN参与运算要触发异常，而QNaN则不触发异常。两者的区别在于，SNaN的尾数最高位是0，而QNaN的尾数最高位是1。

IEEE标准只规定NaN的尾数不为0，并没有限定应该是什么，这就给予具体实现一定的空间。比如可以在计算出问题时，在尾数部分设置一些特殊的值，有利于调试。

NaN有一些晦涩的运算规则：

0×∞=NaN，因此“0乘任何数都是0”不是恒成立的
NaN参与的所有逻辑运算，只有NaN!=NaN为真，其它的都不为真，即使NaN==NaN的结果也为false，因此在浮点数的逻辑运算中，编译器没有办法做积极的优化，因为如果有NaN参与逻辑运算，比如x=NaN，那么!(x<y)和x>=y就不等价了。

令人无语的是，编译器不一定遵循IEEE标准的规定，可想而知，浮点运算有多难搞。

4.特殊的数

4.1 最小的正float有限数

根据有限数的规格化形式，指数取最小值1，隐含位是1，尾数取最小值0（23位都是0）：
$1.0× 2^{1-127} = 1.0 × 2^{-126} = 1.1754943508222875079687365372222e^{-38}$

如果浮点运算的结果小于这个数，就出现下溢，一般将其结果转换为最小的有限数，或者弱规范数，如果弱规范数也不能表示，那么将转换成0。

4.2 最大的float有限数

根据有限数的规格化形式，指数取最大值254，隐含位是1，尾数取最大值（23位都是1）：
$1.11111111111111111111111 × 2^{254-127} = (2-2^{-23}) ×2^{127} = 2^{128} - 2^{104} = 3.4028234663852885981170418348452e^{38}$

如果浮点运算的结果超过这个数，就出现上溢，一般将其结果转换为最近的有限数或∞。

4.3 最小的正float弱规范数

根据弱规范数的规格化形式，尾数取最小值：
$0.0000000000000000000001×2^{0-127} = 2^{-22} × 2^{-127} = 2^{-149} = 1.4012984643248170709237295832899e ^{-45}$

f是23位，且最高位是整数位，因此小数点之后只有22位，最后一位为1，即可得出该数。

4.4 FLT_EPSILON

FLT_EPSILON是C++定义的一个float数，该数是满足1.0+FLT_EPSILON!=1.0的最小的float有限数，比该数还小的float有限数会有：1.0+x=1.0。根据这个定义，从比1.0大的最小float有限数开始推导：

它的规格化表示：1.0×2e(104−127)，E = 104，f = 0。注意，该数远不是最小的正float有限数，它比最小的正float有限数还要“大很多”，它的指数是-23，而最小的正float有限数的指数是-126。这个数并没有什么特别的意义，在代码中无条件的使用 fabs (x − y) < FLT_EPSILON判断两个浮点数是否相等，可能会导致问题。如果你的系统中浮点数很小，极端来说，甚至小于FLT_EPSILON，那你用fabs (x − y) < FLT_EPSILON来判断相等，显然是错误的，你应该自己定义一个可以接受的误差范围来辅助判断相等问题。

CO-浮点数