1 PointWise Loss
输入：单个文档 ， 文档是否和query匹配。
输出：分数/分类
应用：Subset Ranking、 OC SVM、 McRank、Prank
损失函数：回归Loss、分类Loss、有序回归Loss。
优缺点
Pointwise算法实现简单，易于理解，但是它只对给定Query单个文档的相关度进行建模，仅仅考虑了单个文档的相关度，Pointwise值学习到文档和 Query 的全局相关性，对排序先后顺序有一定的影响。在某一些场景下，排在最前面的几个文档对排序结果的影响非常重要，如搜索引擎的第一页的内容非常重要，而 Pointwise 没有考虑这方面的影响，不对排序的先后顺序优劣做惩罚。
1.1 Regression Loss
1.1.1 Mean Square Error / Quadratic Loss
也称L2损失函数，求预测值与真实值之间距离的平方和
下图是MSE函数的图像，其中目标值是100，预测值的范围从-10000到10000，Y轴代表的MSE取值范围是从0到正无穷，并且在预测值为100处达到最小。
1.1.2 Mean Absolute Error
平均绝对值误差 MAE，也称为L1损失，MAE是目标值和预测值之差的绝对值之和。
其只衡量了预测值误差的平均模长，而不考虑方向，取值范围也是从0到正无穷（如果考虑方向，则是残差/误差的总和——平均偏差（MBE））。
下面让我们观察MAE和RMSE（即MSE的平方根，同MAE在同一量级中）在两个例子中的计算结果。第一个例子中，预测值和真实值很接近，而且误差的方差也较小。第二个例子中，因为存在一个异常点，而导致误差非常大。
对于使用MAE计算损失，使用MSE的模型会赋予异常点更大的权重。在第二个例子中，用MSE计算损失的模型会以牺牲了其他样本的误差为代价，朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。
如果训练数据被异常点所污染，那么MAE损失就更好用（比如，在训练数据中存在大量错误的反例和正例标记，但是在测试集中没有这个问题）。
直观上可以这样理解：如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值，那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE，那么这个值，则会是所有样本点目标值的中位数。众所周知，对异常值而言，中位数比均值更加鲁棒，因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。
然而MAE存在一个严重的问题（特别是对于神经网络）：更新的梯度始终相同，也就是说，即使对于很小的损失值，梯度也很大。为了解决这个缺陷，我们可以使用变化的学习率，在损失接近最小值时降低学习率。
而MSE在这种情况下的表现就很好，即便使用固定的学习率也可以有效收敛。MSE损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。这使得在训练结束时，使用MSE模型的结果会更精确。
如果异常点代表在商业中很重要的异常情况，并且需要被检测出来，则应选用MSE损失函数。相反，如果只把异常值当作受损数据，则应选用MAE损失函数。
1.1.3 Huber Loss / Smooth Mean Absolute Error
总而言之，处理异常点时，L1损失函数更稳定，但它的导数不连续，因此求解效率较低。L2损失函数对异常点更敏感，但通过令其导数为0，可以得到更稳定的封闭解。
二者兼有的问题是：在某些情况下，上述两种损失函数都不能满足需求。例如，若数据中90%的样本对应的目标值为150，剩下10%在0到30之间。那么使用MAE作为损失函数的模型可能会忽视10%的异常点，而对所有样本的预测值都为150。
这是因为模型会按中位数来预测。而使用MSE的模型则会给出很多介于0到30的预测值，因为模型会向异常点偏移。上述两种结果在许多商业场景中都是不可取的。
这些情况下应该怎么办呢？最简单的办法是对目标变量进行变换。而另一种办法则是换一个损失函数，这就引出了下面要讲的第三种损失函数，即Huber损失函数。
Huber损失对数据中的异常点没有平方误差损失那么敏感。它在0也可微分。本质上，Huber损失是绝对误差，只是在误差很小时，就变为平方误差。误差降到多小时变为二次误差由超参数δ（delta）来控制。当Huber损失在[0-δ,0+δ]之间时，等价为MSE，而在[-∞,δ]和[δ,+∞]时为MAE。
它会由于梯度的减小而落在最小值附近。比起MSE，它对异常点更加鲁棒。因此，Huber损失结合了MSE和MAE的优点。但是，Huber损失的问题是我们可能需要不断调整超参数delta。
1.1.4 Log cosh Loss
Log-cosh是另一种应用于回归问题中的，且比L2更平滑的的损失函数。它的计算方式是预测误差的双曲余弦的对数。
优点：对于较小的x，log(cosh(x))近似等于(x^2)/2，对于较大的x，近似等于abs(x)-log(2)。这意味着‘logcosh’基本类似于均方误差，但不易受到异常点的影响。它具有Huber损失所有的优点，但不同于Huber损失的是，Log-cosh二阶处处可微。
为什么需要二阶导数？许多机器学习模型如XGBoost，就是采用牛顿法来寻找最优点。而牛顿法就需要求解二阶导数（Hessian）。因此对于诸如XGBoost这类机器学习框架，损失函数的二阶可微是很有必要的。
1.1.5 Quantile Loss
如何选取合适的分位值取决于我们对正误差和反误差的重视程度。损失函数通过分位值（γ）对高估和低估给予不同的惩罚。例如，当分位数损失函数γ=0.25时，对高估的惩罚更大，使得预测值略低于中值。
γ是所需的分位数，其值介于0和1之间。
1.2 Classification Loss
1.2.1 Log Loss
从极大似然的角度出发，我们希望极大化如下似然函数：
[图片上传失败...(image-aaaad9-1629883070126)]%3Dlog+%2C+\prod_{i%3D1}n%2C+p_{y_i}(x_i%3B\theta)%3D\sum_{i%3D1}{n}log+%2C+p_{y_i}(x_i%3B\theta))
其中 [图片上传失败...(image-8986f9-1629883070126)] 。当y=1时， [图片上传失败...(image-91e3e-1629883070126)] ;当y=0时， [图片上传失败...(image-4b4ad5-1629883070126)]。于是，
[图片上传失败...(image-87a2b3-1629883070126)]
最大化(1)等价于极小化下式
[图片上传失败...(image-7e332f-1629883070126)]
(2)被称为负对数似然损失。
逻辑回归也是log loss
(1) log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。
(2)健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。
(3)逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。
1.2.2 Focal Loss
Focal Loss for Dense Object Detection
ICCV2017 RBG和Kaiming大神的新作。
本质上讲，Focal Loss 就是一个解决分类问题中类别不平衡、分类难度差异的一个 loss。
1.2.3 KL Divergence / Relative Entropy
KL距离常用来度量两个分布之间的距离，其具有如下形式
[图片上传失败...(image-19d05d-1629883070126)]
其中p是真实分布，q是拟合分布，H(p)是p的熵，为常数。因此 [图片上传失败...(image-24710c-1629883070126)] 度量了p和q之间的距离，叫做交叉熵损失。
在二分类问题中，数据的真实分布为 [图片上传失败...(image-29fc22-1629883070126)] ,预测分布为 [图片上传失败...(image-d726f1-1629883070126)] ，因此交叉熵损失为
[图片上传失败...(image-28c393-1629883070126)]
正好和(2)是同一个损失。
1.2.4 Exponential Loss
设 [图片上传失败...(image-4f946f-1629883070126)] ,模型为 [图片上传失败...(image-44ea52-1629883070126)] ,指数损失为
[图片上传失败...(image-f9c27f-1629883070126)]
忽略模型的具体形式，在指数损失下，我们的优化目标为
[图片上传失败...(image-e1b824-1629883070126)]
最优解为
[图片上传失败...(image-b200d5-1629883070126)]
[图片上传失败...(image-711810-1629883070126)] 估计的是对数几率的一半。当 [图片上传失败...(image-994e8c-1629883070126)] 时， [图片上传失败...(image-f280e6-1629883070126)] 的符号为正，反之为负。于是 [图片上传失败...(image-8a1d33-1629883070126)] 作为预测值可达贝叶斯最优。这说明了指数函数作为损失函数的合理性。当 [图片上传失败...(image-ee940b-1629883070126)] 为线性函数时，这就是逻辑斯蒂回归。
adaboost使用exponential loss，对离群点、噪声非常敏感。
1.2.5 Hinge Loss
(1)hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为 [图片上传失败...(image-9b09a1-1629883070126)] 。SVM就是使用这个损失函数。
(2)hinge loss是凸函数
(3)hinge loss对噪声不敏感，只线性地惩罚分错的数据数目。一般的 [图片上传失败...(image-f80263-1629883070126)] 是预测值，在-1到1之间， [图片上传失败...(image-2272b0-1629883070126)] 是目标值(-1或1)。其含义是， [图片上传失败...(image-d982f2-1629883070126)] 的值在-1和+1之间就可以了，并不鼓励 [图片上传失败...(image-aaf5bc-1629883070126)] ，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励，从而使分类器可以更专注于整体的误差。
(4)hinge loss不可导，不能用SGD等方法来优化。这种情况可以用交叉熵，为凸函数，同时可导，可以用SGD。
2 PairWise Loss
输入： - 文档对
输出： 优先级是否比
高
应用：Ranking SVM、RankBoost、RankNet、GBRank、IR SVM 等
损失函数：Pairwise 分类 Loss。
优缺点
Pairwise 方法通过考虑两两文档之间的相关度来进行排序，有一定进步。但 Pairwise 使用的是两文档之间相关相关度的损失函数，而它和真正衡量排序效果的指标之间存在很大不同，甚至可能是负相关的，如可能出现 Pairwise Loss 越来越低，但 NDCG 分数也越来越低的现象。另外此方法只考虑了两个文档的先后顺序，且没有考虑文档在搜索列表中出现的位置，导致最终排序效果并不理想。
2.1 Hinge Loss
<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr546y1t34j310f0u0afg.jpg" alt="image-20210602152649553" style="zoom:50%;" />
示例：该损失函数在Ranking SVM中使用。
2.2 Cross Entropy
交叉熵描述了两个概率分布之间的距离，当交叉熵越小说明二者之间越接近。
<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr5474zakwj30e403s0ss.jpg" alt="image-20210602152819983" style="zoom:50%;" />
其中 是预测结果，
是ground truth。
示例：在RankNet中使用。
2.3 Fidelity Loss
交叉熵损失函数中，f(x_u)-f(x_v) 总是比1大，损失没有最小值，会在学习过程中导致一些困难，为了解决这个问题，用了fidelity loss。
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<img src="损失函数.assets/image-20210602152435753.png" alt="image-20210602152435753" style="zoom:50%;" />
示例：该损失函数在FRank中使用。
2.4 Log Loss
Rankboost 使用adaboost的对pairs进行分类。adaboost 使用对数损失函数，对弱分类器的叠加得到强分类器。
<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr547a7xs7j31100u0q7s.jpg" alt="image-20210602152630085" style="zoom:50%;" />
示例：该损失函数在RankBoost中使用。
2.5 Top1 Loss
这是一种启发式的组合损失函数，由两个部分组成：第一部分旨在将目标分数提升到样本分数以上，而第二部分则将负样本的分数降低到零。第二部分其实就是一个正则项，但是并没有直接约束权重，它惩罚了负样本的得分。因为所有的物品都有可能作为某一个用户的负样本。具体公式如下:
<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr547d2x87j30k006amy6.jpg" alt="image-20210602144944055" style="zoom:50%;" />
这里j对应负样本（未观测到的），i对应正样本
2.6 BPR Loss
基于Bayesian Personalized Ranking。BPR Loss 的思想很简单，就是让正样本和负样本的得分之差尽可能达到最大。具体公式如下：
3 ListWise Loss
输入：文档集合
输出：文档的排序
应用： ListNet、ListMLE、SVM MAP、AdaRank、SoftRank、LambdaRank、LambdaMART。其中LambdaMART（对RankNet和 LambdaRank的改进）在Yahoo Learning to Rank Challenge表现出最好的性能。
损失函数：评价指标如 NDCG、MAP 等。这里可以详细看我的空间里 [召回系统-评价指标] 一文。
优缺点
由于此种方法是针对评价指标直接进行优化，所以它往往表现出不错的效果。
Reference
https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-06-21-3
http://www.l3s.de/~anand/tir15/lectures/ws15-tir-l2r.pdf
http://super1peng.xyz/2018/08/24/Learning-To-Rank/
https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/1516/R222/l2r-overview.pdf
