损失函数

损失函数与评价指标之间的关系

1 PointWise Loss

输入:单个文档 d_1, 文档是否和query匹配。

输出:分数/分类

应用:Subset Ranking、 OC SVM、 McRank、Prank

损失函数:回归Loss、分类Loss、有序回归Loss。

优缺点
Pointwise算法实现简单,易于理解,但是它只对给定Query单个文档的相关度进行建模,仅仅考虑了单个文档的相关度,Pointwise值学习到文档和 Query 的全局相关性,对排序先后顺序有一定的影响。在某一些场景下,排在最前面的几个文档对排序结果的影响非常重要,如搜索引擎的第一页的内容非常重要,而 Pointwise 没有考虑这方面的影响,不对排序的先后顺序优劣做惩罚。

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1.1 Regression Loss

1.1.1 Mean Square Error / Quadratic Loss

也称L2损失函数,求预测值与真实值之间距离的平方和

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下图是MSE函数的图像,其中目标值是100,预测值的范围从-10000到10000,Y轴代表的MSE取值范围是从0到正无穷,并且在预测值为100处达到最小。

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1.1.2 Mean Absolute Error

平均绝对值误差 MAE,也称为L1损失,MAE是目标值和预测值之差的绝对值之和。

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其只衡量了预测值误差的平均模长,而不考虑方向,取值范围也是从0到正无穷(如果考虑方向,则是残差/误差的总和——平均偏差(MBE))。

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下面让我们观察MAE和RMSE(即MSE的平方根,同MAE在同一量级中)在两个例子中的计算结果。第一个例子中,预测值和真实值很接近,而且误差的方差也较小。第二个例子中,因为存在一个异常点,而导致误差非常大。

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对于使用MAE计算损失,使用MSE的模型会赋予异常点更大的权重。在第二个例子中,用MSE计算损失的模型会以牺牲了其他样本的误差为代价,朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。

如果训练数据被异常点所污染,那么MAE损失就更好用(比如,在训练数据中存在大量错误的反例和正例标记,但是在测试集中没有这个问题)。

直观上可以这样理解:如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值,那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE,那么这个值,则会是所有样本点目标值的中位数。众所周知,对异常值而言,中位数比均值更加鲁棒,因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。

然而MAE存在一个严重的问题(特别是对于神经网络):更新的梯度始终相同,也就是说,即使对于很小的损失值,梯度也很大。为了解决这个缺陷,我们可以使用变化的学习率,在损失接近最小值时降低学习率。

而MSE在这种情况下的表现就很好,即便使用固定的学习率也可以有效收敛。MSE损失的梯度随损失增大而增大,而损失趋于0时则会减小。这使得在训练结束时,使用MSE模型的结果会更精确。

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如果异常点代表在商业中很重要的异常情况,并且需要被检测出来,则应选用MSE损失函数。相反,如果只把异常值当作受损数据,则应选用MAE损失函数。

1.1.3 Huber Loss / Smooth Mean Absolute Error

总而言之,处理异常点时,L1损失函数更稳定,但它的导数不连续,因此求解效率较低。L2损失函数对异常点更敏感,但通过令其导数为0,可以得到更稳定的封闭解。

二者兼有的问题是:在某些情况下,上述两种损失函数都不能满足需求。例如,若数据中90%的样本对应的目标值为150,剩下10%在0到30之间。那么使用MAE作为损失函数的模型可能会忽视10%的异常点,而对所有样本的预测值都为150。

这是因为模型会按中位数来预测。而使用MSE的模型则会给出很多介于0到30的预测值,因为模型会向异常点偏移。上述两种结果在许多商业场景中都是不可取的。

这些情况下应该怎么办呢?最简单的办法是对目标变量进行变换。而另一种办法则是换一个损失函数,这就引出了下面要讲的第三种损失函数,即Huber损失函数。

Huber损失对数据中的异常点没有平方误差损失那么敏感。它在0也可微分。本质上,Huber损失是绝对误差,只是在误差很小时,就变为平方误差。误差降到多小时变为二次误差由超参数δ(delta)来控制。当Huber损失在[0-δ,0+δ]之间时,等价为MSE,而在[-∞,δ]和[δ,+∞]时为MAE。

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它会由于梯度的减小而落在最小值附近。比起MSE,它对异常点更加鲁棒。因此,Huber损失结合了MSE和MAE的优点。但是,Huber损失的问题是我们可能需要不断调整超参数delta。

1.1.4 Log cosh Loss

Log-cosh是另一种应用于回归问题中的,且比L2更平滑的的损失函数。它的计算方式是预测误差的双曲余弦的对数。

img

cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}

优点:对于较小的x,log(cosh(x))近似等于(x^2)/2,对于较大的x,近似等于abs(x)-log(2)。这意味着‘logcosh’基本类似于均方误差,但不易受到异常点的影响。它具有Huber损失所有的优点,但不同于Huber损失的是,Log-cosh二阶处处可微。

为什么需要二阶导数?许多机器学习模型如XGBoost,就是采用牛顿法来寻找最优点。而牛顿法就需要求解二阶导数(Hessian)。因此对于诸如XGBoost这类机器学习框架,损失函数的二阶可微是很有必要的。

1.1.5 Quantile Loss

如何选取合适的分位值取决于我们对正误差和反误差的重视程度。损失函数通过分位值(γ)对高估和低估给予不同的惩罚。例如,当分位数损失函数γ=0.25时,对高估的惩罚更大,使得预测值略低于中值。

img

γ是所需的分位数,其值介于0和1之间。

img

1.2 Classification Loss

1.2.1 Log Loss

从极大似然的角度出发,我们希望极大化如下似然函数:

[图片上传失败...(image-aaaad9-1629883070126)]%3Dlog+%2C+\prod_{i%3D1}n%2C+p_{y_i}(x_i%3B\theta)%3D\sum_{i%3D1}{n}log+%2C+p_{y_i}(x_i%3B\theta))

其中 [图片上传失败...(image-8986f9-1629883070126)] 。当y=1时, [图片上传失败...(image-91e3e-1629883070126)] ;当y=0时, [图片上传失败...(image-4b4ad5-1629883070126)]。于是,

[图片上传失败...(image-87a2b3-1629883070126)]

最大化(1)等价于极小化下式

[图片上传失败...(image-7e332f-1629883070126)]

(2)被称为负对数似然损失。

逻辑回归也是log loss
L(y,f(x)) = log(1+e^{-yf(x)})
(1) log对数损失函数能非常好的表征概率分布,在很多场景尤其是多分类,如果需要知道结果属于每个类别的置信度,那它非常适合。

(2)健壮性不强,相比于hinge loss对噪声更敏感。

(3)逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

1.2.2 Focal Loss

Focal Loss for Dense Object Detection

ICCV2017 RBG和Kaiming大神的新作。

本质上讲,Focal Loss 就是一个解决分类问题中类别不平衡、分类难度差异的一个 loss。

1.2.3 KL Divergence / Relative Entropy

KL距离常用来度量两个分布之间的距离,其具有如下形式

[图片上传失败...(image-19d05d-1629883070126)]

其中p是真实分布,q是拟合分布,H(p)是p的熵,为常数。因此 [图片上传失败...(image-24710c-1629883070126)] 度量了p和q之间的距离,叫做交叉熵损失。

在二分类问题中,数据的真实分布为 [图片上传失败...(image-29fc22-1629883070126)] ,预测分布为 [图片上传失败...(image-d726f1-1629883070126)] ,因此交叉熵损失为

[图片上传失败...(image-28c393-1629883070126)]

正好和(2)是同一个损失。

1.2.4 Exponential Loss

设 [图片上传失败...(image-4f946f-1629883070126)] ,模型为 [图片上传失败...(image-44ea52-1629883070126)] ,指数损失为

[图片上传失败...(image-f9c27f-1629883070126)]

忽略模型的具体形式,在指数损失下,我们的优化目标为

[图片上传失败...(image-e1b824-1629883070126)]

最优解为

[图片上传失败...(image-b200d5-1629883070126)]

[图片上传失败...(image-711810-1629883070126)] 估计的是对数几率的一半。当 [图片上传失败...(image-994e8c-1629883070126)] 时, [图片上传失败...(image-f280e6-1629883070126)] 的符号为正,反之为负。于是 [图片上传失败...(image-8a1d33-1629883070126)] 作为预测值可达贝叶斯最优。这说明了指数函数作为损失函数的合理性。当 [图片上传失败...(image-ee940b-1629883070126)] 为线性函数时,这就是逻辑斯蒂回归。

adaboost使用exponential loss,对离群点、噪声非常敏感。

1.2.5 Hinge Loss

(0,1−f(xi)yi)

(1)hinge损失函数表示如果被分类正确,损失为0,否则损失就为 [图片上传失败...(image-9b09a1-1629883070126)] 。SVM就是使用这个损失函数。

(2)hinge loss是凸函数

(3)hinge loss对噪声不敏感,只线性地惩罚分错的数据数目。一般的 [图片上传失败...(image-f80263-1629883070126)] 是预测值,在-1到1之间, [图片上传失败...(image-2272b0-1629883070126)] 是目标值(-1或1)。其含义是, [图片上传失败...(image-d982f2-1629883070126)] 的值在-1和+1之间就可以了,并不鼓励 [图片上传失败...(image-aaf5bc-1629883070126)] ,即并不鼓励分类器过度自信,让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励,从而使分类器可以更专注于整体的误差。

(4)hinge loss不可导,不能用SGD等方法来优化。这种情况可以用交叉熵,为凸函数,同时可导,可以用SGD。

2 PairWise Loss

输入:d_1,d_2 - 文档对

输出:d_1 优先级是否比 d_2

应用:Ranking SVM、RankBoost、RankNet、GBRank、IR SVM 等

损失函数:Pairwise 分类 Loss。

优缺点
Pairwise 方法通过考虑两两文档之间的相关度来进行排序,有一定进步。但 Pairwise 使用的是两文档之间相关相关度的损失函数,而它和真正衡量排序效果的指标之间存在很大不同,甚至可能是负相关的,如可能出现 Pairwise Loss 越来越低,但 NDCG 分数也越来越低的现象。另外此方法只考虑了两个文档的先后顺序,且没有考虑文档在搜索列表中出现的位置,导致最终排序效果并不理想。

2.1 Hinge Loss

max⁡(0,margin−(S(Q,D+)−S(Q,D−))

<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr546y1t34j310f0u0afg.jpg" alt="image-20210602152649553" style="zoom:50%;" />

示例:该损失函数在Ranking SVM中使用。

2.2 Cross Entropy

交叉熵描述了两个概率分布之间的距离,当交叉熵越小说明二者之间越接近。

<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr5474zakwj30e403s0ss.jpg" alt="image-20210602152819983" style="zoom:50%;" />

其中 y_i是预测结果, y′_i是ground truth。

示例:在RankNet中使用。

2.3 Fidelity Loss

交叉熵损失函数中,f(x_u)-f(x_v) 总是比1大,损失没有最小值,会在学习过程中导致一些困难,为了解决这个问题,用了fidelity loss。

<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr5473qr8rj30ro0463yn.jpg" alt="image-20210602152227909" style="zoom:50%;" />

<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr5471vxazj312o0r2qg8.jpg" alt="image-20210602152302637" style="zoom:50%;" />

<img src="损失函数.assets/image-20210602152435753.png" alt="image-20210602152435753" style="zoom:50%;" />

示例:该损失函数在FRank中使用。

2.4 Log Loss

Rankboost 使用adaboost的对pairs进行分类。adaboost 使用对数损失函数,对弱分类器的叠加得到强分类器。

<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr547a7xs7j31100u0q7s.jpg" alt="image-20210602152630085" style="zoom:50%;" />

示例:该损失函数在RankBoost中使用。

2.5 Top1 Loss

这是一种启发式的组合损失函数,由两个部分组成:第一部分旨在将目标分数提升到样本分数以上,而第二部分则将负样本的分数降低到零。第二部分其实就是一个正则项,但是并没有直接约束权重,它惩罚了负样本的得分。因为所有的物品都有可能作为某一个用户的负样本。具体公式如下:

<img src="https://tva1.sinaimg.cn/large/008i3skNgy1gr547d2x87j30k006amy6.jpg" alt="image-20210602144944055" style="zoom:50%;" />

这里j对应负样本(未观测到的),i对应正样本

2.6 BPR Loss

基于Bayesian Personalized Ranking。BPR Loss 的思想很简单,就是让正样本和负样本的得分之差尽可能达到最大。具体公式如下:

在这里插入图片描述

3 ListWise Loss

输入:文档集合 {d}

输出:文档的排序

应用: ListNet、ListMLE、SVM MAP、AdaRank、SoftRank、LambdaRank、LambdaMART。其中LambdaMART(对RankNet和 LambdaRank的改进)在Yahoo Learning to Rank Challenge表现出最好的性能。

损失函数:评价指标如 NDCG、MAP 等。这里可以详细看我的空间里 [召回系统-评价指标] 一文。

优缺点
由于此种方法是针对评价指标直接进行优化,所以它往往表现出不错的效果。

Reference

https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-06-21-3

http://www.l3s.de/~anand/tir15/lectures/ws15-tir-l2r.pdf

http://super1peng.xyz/2018/08/24/Learning-To-Rank/

https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/1516/R222/l2r-overview.pdf

机器学习大牛最常用的5个回归损失函数,你知道几个?

损失函数代码实践

https://zhuanlan.zhihu.com/p/74073096

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