形式系统就是对含义表达行为的形式化的统一，是人们能够对事情进行研究啊，交流啊、探讨的基础条件。就好比我们的语言啊，语言系统呢，其实就是一个形式系统，一个语言里的每一个单词，每一个短语以及语法，其实都代表了一个比较清晰的含义，在这个基础上，人们才能通过语言进行表达、倾听、或者讨论。现在大家理解什么叫形式系统了吧？形式系统其实就是一个含有特殊含义的符号，还有一组公理以及推导演绎规则的集合。我们打个比方好比英语，他就是一个形式系统，26个字母以及标点符号就是它的符号，它的音标系统还有每一个单词和短语所代表的含义，那是他的公理集合，dog就代表狗，我就这么规定的不证自明。英语的语法以及表达方式呢，就是它的推导和演绎规则，美国英国等很多的国家人与人之间的日常交流啊，都是使用的这个形式系统。
再比如自然数系统，他也是一个形式系统，其中有数学符号、逻辑运算符号、位词符号等一系列的符号，它也有自己的公理集合和推导演绎规则，任何一个小学里的数学考试和得分规则呀，都是基于这个形式系统实现的。
一个形式系统之中，用它的符号语言做出的表述，这个叫做命题，我们在中学学几何的时候啊，就经常见到类似的题啊，比如说让你证明直线a和直线B平行，这个就是一个命题。其中直线指代符号a和B，还有平行，这个都属于几何形式系统的语言，没有任何一道几何题啊，会让你证明直线a爱上了直线B啊，因为“爱上了”这个符号的含义啊，再几何这个形式系统里没有。
命题呢，有对的有不对的，通过公理证明了的命题，这个就是对的命题，也叫做真命题，也就是定理。比如说9>8，这个就是一个真命题，反之呢就是错误的命题，也叫假命题。
什么叫做形式证明？在一个形式系统之内，对一个命题的证明叫做形式证明。证明过程的实质呢，是一个以公理为出发点，以这个命题为结束点的这么一个由公理、定理、公理、定理组成的有限序列。注意啊，是有限序列，这么说呀，其实比较抽象啊，大家可以回忆一下自己的高中时代，做数学题考试的时候，那些特别复杂的证明题，你所使用的语言大家还记得吗？因为、所以、……，背后是某某公里或者是定理；这个等于那个，背后呢也是某某公理和定理；你做的每一步演算背后呢，都有某个公理或者是定义给你撑腰，你在试卷上写的每一个符号，其实都是那些有限的数学语言，比如说因为、所以、任意一个、大于、等于、属于、不属于啊等等等等。
