从1到n整数中1出现的次数

X的数目

这里的 X∈[1,9],因为 X=0 不符合下列规律,需要单独计算。

首先要知道以下的规律:

从 1 至 10,在它们的个位数中,任意的 X 都出现了 1 次。

从 1 至 100,在它们的十位数中,任意的 X 都出现了 10 次。

从 1 至 1000,在它们的百位数中,任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推,从 1 至 10i,在它们的左数第二位(右数第 i 位)中,任意的 X 都出现了 10i−1 次。

这个规律很容易验证,这里不再多做说明。

接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式

从 1 至 2593 中,数字 5 总计出现了 813 次,其中有 259 次出现在个位,260 次出现在十位,294 次出现在百位,0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据,首先是个位。从 1 至 2590 中,包含了 259 个 10,因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593,因为它们最大的个位数字 3 < X,因此不会包含任何 5。(也可以这么看,3< X,则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定,等于更高位数字(259)X101-1=259)。

然后是十位。从 1 至 2500 中,包含了 25 个 100,因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593,它们最大的十位数字 9 > X,因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。(也可以这么看,9>X,则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定,等于更高位数字(25+1)X102-1=260)。

接下来是百位。从 1 至 2000 中,包含了 2 个 1000,因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593,它们最大的百位数字 5 == X,这时情况就略微复杂,它们的百位肯定是包含 5 的,但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来,是从 2500 至 2593,数字的个数与百位和十位数字相关,是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。(也可以这么看,5==X,则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响,还受低位影响,等于更高位数字(2)X103-1+(93+1)=294)。

最后是千位。现在已经没有更高位,因此直接看最大的千位数字 2 < X,所以不会包含任何 5。(也可以这么看,2< X,则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定,等于更高位数字(0)X104-1=0)。

到此为止,已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法,可以看到,

当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时:

取第 i 位左边(高位)的数字,乘以 10i−1,得到基础值 a。

取第 i 位数字,计算修正值:

如果大于 X,则结果为 a+10i−1。

如果小于 X,则结果为 a。

如果等 X,则取第 i 位右边(低位)数字,设为 b,最后结果为 a+b+1。

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