二次曲线
二次曲线（conic）又称圆锥曲线，包含3种基础类型：抛物线（parabola）、椭圆（ellipse）、双曲线（hyperbola），而圆（circle）是椭圆的特例。在几何上，二次曲线可以定义为一个平面与两个顶点相对的圆锥的交线，如下图所示：
不同的二次曲线
在上述情况中，平面没有穿过圆锥的顶点。而当平面与圆锥顶点相交时，二次曲线变成一个点或者一条直线或者两条相交直线，它们被称为退化二次曲线（degenerate conic）。
二次曲线的表达式
对于二维点，任意二次曲线可以用如下等式来描述：
在齐次坐标系中，对于二维点，二次曲线表达式为：
写成矩阵形式为：
其中是二次曲线的系数矩阵：
二次曲线的判别式
二次曲线退化的充要条件是其参数矩阵非满秩。对于一个非退化二次曲线，如何判别它是椭圆、抛物线，还是双曲线呢？
考虑无穷远线上任意无穷远点
，带入式(2)：
从而解得：
当时，方程(5)有两个不等实根，二次曲线与无穷远线有两个交点，为双曲线；
当时，方程(5)有两个相等实根，二次曲线与无穷远线有一个切点，为抛物线；
当时，方程(5)有两个共轭虚根，二次曲线与无穷远线没有交点，为椭圆。
因此，被称为二次曲线的判别式（discriminant）。
对偶二次曲线
式(3)基于曲线上的点来定义二次曲线，基于曲线的切线也可以定义同一个二次曲线，称为对偶二次曲线，如下图b所示。
对偶二次曲线
对偶二次曲线的表达式为：
其中，是二次曲线的切线，
是式(3)中
的伴随矩阵，有时
会用
的逆矩阵
来代替。
极点与极线
对于任意直线和二次曲线
，点
叫做直线
关于该二次曲线的极点（pole），同时直线
叫做点
的极线（polar）。显然，当点
在曲线上时，
，即二次曲线上任意点的极线是过该点的切线。
构造一个点的极线常用的方法是：过该点作二次曲线的两条切线，则两个切点的连线就是该点的极线。
极点与极线
如果一个点无法找到切线（椭圆内部的点），可以用如下方法构造极线：
基于任意点构造极线
上图中点 J 的极线是 HI，点 H 的极线是 JI。
针对椭圆有：
- 无穷远点的极线穿过椭圆中心
- 椭圆中心的极点是无穷远线
