高等代数理论基础51：不变子空间

不变子空间

定义：设 $\mathscr{A}$ 是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的子空间,若W中的向量在 $\mathscr{A}$ 下的像仍在W中,即 $\forall \xi\in W$ ,有 $\mathscr{A}\xi\in W$ ,则称W是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间,简称 $\mathscr{A}$ -子空间

例：

1.整个空间V和零子空间 $\{0\}$ ,对每个线性变换 $\mathscr{A}$ 都是 $\mathscr{A}$ -子空间

2. $\mathscr{A}$ 的值域与核都是 $\mathscr{A}$ -子空间

由定义, $\mathscr{A}$ 的值域 $\mathscr{A}V$ 是V中的向量在 $\mathscr{A}$ 下的像的集合,包含 $\mathscr{A}V$ 中向量的像,故 $\mathscr{A}V$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间

$\mathscr{A}$ 的核为被 $\mathscr{A}$ 变成零的向量的集合,核中向量的像是零,在核中,故核是不变子空间

3.若线性变换 $\mathscr{A}$ 与 $\mathscr{B}$ 是可交换,则 $\mathscr{B}$ 的核与值域都是 $\mathscr{A}$ -子空间

在 $\mathscr{B}$ 的核 $V_0$ 中任取一向量 $\xi$ ,则 $\mathscr{B(A\xi)=(BA)\xi=(AB)\xi=A(B\xi)=A0=0}$

故 $\mathscr{A}\xi$ 在 $\mathscr{B}$ 中的像为零,即 $\mathscr{A}\xi\in V_0$ ,故 $V_0$ 是 $\mathscr{A}$ -子空间

$\forall \mathscr{B}\eta\in \mathscr{B}V$ ,则 $\mathscr{A}(\mathscr{B}\eta)=\mathscr{B}(\mathscr{A}(\eta))\in\mathscr{B}V$ ,故 $\mathscr{B}V$ 也是 $\mathscr{A}$ -子空间

$\mathscr{A}$ 的多项式 $f(\mathscr{A})$ 和 $\mathscr{A}$ 可交换,故 $f(\mathscr{A})$ 的值域与核都是 $\mathscr{A}$ -子空间

4.任一子空间都是数乘变换的不变子空间

由定义,子空间对数乘变换封闭

特征向量与一维不变子空间

设W是一维 $\mathscr{A}$ -子空间, $\xi$ 是W中任一非零向量,构成W的基,由 $\mathscr{A}$ -子空间的定义, $\mathscr{A}\xi\in W$ ,是 $\xi$ 的一个倍数 $\mathscr{A}\xi=\lambda_0\xi$

即 $\xi$ 是 $\mathscr{A}$ 的特征向量,W为由 $\xi$ 生成的一维 $\mathscr{A}$ -子空间

反之,设 $\xi$ 是 $\mathscr{A}$ 属于特征值 $\lambda_0$ 的一个特征向量,则 $\xi$ 及它的任一倍数在 $\mathscr{A}$ 下的像是原像的 $\lambda_0$ 倍,仍是 $\xi$ 的一个倍数

即 $\xi$ 的倍数构成一个一维 $\mathscr{A}$ -子空间

显然, $\mathscr{A}$ 的属于特征值 $\lambda_0$ 的特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 也是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间

$\mathscr{A}$ -子空间的和与交还是 $\mathscr{A}$ -子空间

设 $\mathscr{A}$ 是线性空间V的线性变换,W是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间,W中向量在 $\mathscr{A}$ 下的像仍在W中,故可不必在整个空间V中考虑 $\mathscr{A}$ ,只在不变子空间W中考虑 $\mathscr{A}$ ,即将 $\mathscr{A}$ 看作W的一个线性变换,称为 $\mathscr{A}$ 在不变子空间W上引起的变换,记作 $\mathscr{A}|W$

注： $\mathscr{A}$ 是V的线性变换,V中每个向量在 $\mathscr{A}$ 下都有确定的像

$\mathscr{A}|W$ 是不变子空间W上的线性变换, $\forall \xi\in W$ ,有 $(\mathscr{A}|W)\xi=\mathscr{A}\xi$

对V中不属于W的向量 $\eta$ , $(\mathscr{A}|W)\eta$ 没有意义

例：任一线性变换在它的核上引起的变换是零变换,在特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 上引起的变换是数乘变换 $\lambda_0$

显然,若线性空间V的子空间W是由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 生成的,即 $W=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$ ,则W是 $\mathscr{A}$ -子空间的充要条件为 $\mathscr{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s}\in W$

必要性显然

充分性,若 $\mathscr{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s}\in W$

$\forall \xi\in W$ 可被 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表示,即 $\xi=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$

故 $\mathscr{A\xi}=(k_1\mathscr{A}\alpha_1+k_2\mathscr{A}\alpha_2+\cdots+k_s\mathscr{A}\alpha_s)\in W$

线性变换矩阵化简

1.设 $\mathscr{A}$ 是n维线性空间V的线性变换,W是V的 $\mathscr{A}$ -子空间,在W中取一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ ,且扩充成V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k,\varepsilon_{k+1},\cdots,\varepsilon_n$ ,则 $\mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为

$\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ 0&\cdots&0&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&\cdots&0&a_{n,k+1}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix}$

且k级矩阵 $A_1$ 是 $\mathscr{A}|W$ 在W的基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ 下的矩阵

$W$ 是 $\mathscr{A}$ -子空间,故像 $\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_k$ 仍在W中,可通过W的基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ 线性表示

$\mathscr{A}\varepsilon_1=a_{11}\varepsilon_1+a_{21}\varepsilon_2+\cdots+a_{k1}\varepsilon_k$

$\mathscr{A}\varepsilon_1=a_{12}\varepsilon_2+a_{22}\varepsilon_2+\cdots+a_{k2}\varepsilon_k$

$\cdots$

$\mathscr{A}\varepsilon_k=a_{1k}\varepsilon_1+a_{2k}\varepsilon_2+\cdots+a_{kk}\varepsilon_k$

故 $\mathscr{A}$ 在基下的矩阵具有形状 $\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix}$

$\mathscr{A}|W$ 在W的基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ 下的矩阵是 $A_1$

反之,若 $\mathscr{A}$ 在基下的矩阵为 $\begin{pmatrix}A_1&A_3\\O&A_2\end{pmatrix}$ ,则易证 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_k$ 生成的子空间W是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间

2.设V分解成若干 $\mathscr{A}$ -子空间的直和

$V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_s$ ,在每个 $\mathscr{A}$ -子空间 $W_i$ 中取基 $\varepsilon_{i1},\varepsilon_{i2},\cdots,\varepsilon_{in_i}(i=1,2,\cdots,s)$ ,且将它们合并成V的一组基I,则在该组基下, $\mathscr{A}$ 的矩阵具有准对角形状

$\begin{pmatrix}A_1\\ &A_2\\ & &\ddots\\ & & &A_s\end{pmatrix}$

其中 $A_i(i=1,2,\cdots,s)$ 即 $\mathscr{A}|W_i$ 在基 $\varepsilon_{i1},\varepsilon_{i2},\cdots,\varepsilon_{in_i}(i=1,2,\cdots,s)$ 下的矩阵

反之,若线性变换 $\mathscr{A}$ 在基I下的矩阵是准对角形,则由基 $\varepsilon_{i1},\varepsilon_{i2},\cdots,\varepsilon_{in_i}(i=1,2,\cdots,s)$ 生成的子空间 $W_i$ 是 $\mathscr{A}$ -子空间

注：矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的

哈密顿-凯莱定理应用

定理：设线性变换 $\mathscr{A}$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$ ,可分解成一次因式的乘积 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{r_s}$ ,则V可分解成不变子空间的直和 $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots\oplus V_s$ ,其中 $V_i=\{\xi|(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi\in V\}$

证明：

$令f_i(\lambda)={f(\lambda)\over (\lambda-\lambda_i)^{r_i}}$

$=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}\cdots(\lambda-\lambda_{i-1})^{r_{i-1}}(\lambda-\lambda_{i+1})^{r_{i+1}}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{r_s}$

$及V_i=f_i(\mathscr{A})V$

$则V_i是f_i(\mathscr{A})的值域$

$又V_i是\mathscr{A}的子空间$

$显然,V_i满足$

$(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}V_i=f(\mathscr{A})V=\{0\}$

$下证V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s$

$即证\forall \alpha\in V$

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i\in V_i,i=1,2,\cdots,s$

$且表示法唯一$

$显然(f_1(\lambda),f_2(\lambda),\cdots,f_s(\lambda))=1$

$\therefore 有多项式u_1(\lambda),u_2(\lambda),\cdots,u_s(\lambda)$

$使u_1(\lambda)f_1(\lambda)+u_2(\lambda)f_2(\lambda)+\cdots+u_s(\lambda)f_s(\lambda)=\mathscr{E}$

$即\forall\alpha\in V,有$

$\alpha=u_1(\mathscr{A})f_1(\mathscr{A})\alpha+u_2(\mathscr{A})f_2(\mathscr{A})\alpha+\cdots+u_s(\mathscr{A})f_s(\mathscr{A})\alpha$

$其中u_i(\mathscr{A})f_i(\mathscr{A})\alpha\in f_i(\mathscr{A})V=V_i,i=1,2,\cdots,s$

$设\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_s=0$

$其中\beta_i满足(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\beta_i=0,i=1,2,\cdots,s$

$下证任一\beta_i=0$

$\because (\lambda-\lambda_j)^{r_j}|f_i(\lambda)(j\neq i)$

$\therefore f_i(\mathscr{A})\beta_j=0(j\neq i)$

$用f_i(\mathscr{A})作用于两边可得$

$f_i(\mathscr{A})\beta_i=0$

$又(f_i(\lambda),(\lambda-\lambda_i)^{r_i})=1$

$\therefore 有多项式u(\lambda),v(\lambda)使$

$u(\lambda)f_i(\lambda)+v(\lambda)(\lambda-\lambda_i)^{r_i}=1$

$\therefore \beta_i=u(\mathscr{A})f_i(\mathscr{A})\beta_i+v(\mathscr{A})(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\beta_i=0$

$设\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s=0$

$其中\alpha_i\in V_i$

$(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\alpha_i=0,i=1,2,\cdots,s$

$\therefore \alpha_i=0,i=1,2,\cdots,s$

$\therefore 表示法唯一$

$设有向量\alpha\in (\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}的核$

$将\alpha表成\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_s,\alpha_i\in V_i(i=1,2,\cdots,s)$

$\therefore \alpha_1+\alpha_2+\cdots+(\alpha_i-\alpha)+\cdots+\alpha_s=0$

$令\beta_j=\alpha_j,j\neq i,\beta_i=\alpha_i-\alpha$

$则\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s是满足条件的向量$

$\therefore \beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_i=\cdots=\beta_s=0$

$\therefore \alpha=\alpha_i\in V_i$

$即V_i是(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}的核$

$即V_i=\{\xi|(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi\in V\}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

根子空间

定义：V, $\mathscr{A}$ , $f(\lambda)$ 如上定理,则称 $V_i=\{\xi\in V|(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0\}$ 为 $\mathscr{A}$ 的属于特征值 $\lambda_i$ 的根子空间,记作 $V^{\lambda_i}$

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