Logistic 回归

最近看到了Logistic 回归，LR模型主要用于分类模型(不是回归)，细心的人不难发现LR模型在线性回归模型上加了一个sigmoid转换。

sigmoid转换的优势

求梯度方便
数据统一分布在0-1之间，从下面的LR分布也可以看出

算法

定义

$P(y=1\mid x)=\dfrac{e^{wx+b}}{1+e^{wx+b}}$
$P(y=0\mid x)=\dfrac{1}{1+e^{wx+b}}$

扩张一下 $w,x$ ，令 $wx+b$ -> $wx$

$P(y=1\mid x)=\dfrac{e^{wx}}{1+e^{wx}}$
$P(y=0\mid x)=\dfrac{1}{1+e^{wx}}$

对数几率

$p$ 指发生概率

$logit(p)=log \dfrac{p}{1-p}$
$p$ 代入 $P(y=1\mid x)$

$logit(p)=log \dfrac{p}{1-p}=log \dfrac{P(y=1\mid x)}{1-P(y=1\mid x)}=wx$

把 $P(y=1\mid x)$ 领出来，

$p=P(y=1\mid x)=\dfrac{e^{w x}}{1+e^{w x}}=\dfrac{1}{1+e^{-w x}}$

极大似然估计

image

跟上边学到的貌似是一回事

小结

image

从图像中可以看出，逻辑回归函数将输入的 $(-\infty, \infty)$ 空间映射到了 $(0,1)$ 空间，即将值域限制在了 $(0,1)$ 之内。限制后的假设函数为：
$p=P(y=1\mid x)=\dfrac{e^{w x}}{1+e^{w x}}=\dfrac{1}{1+e^{-w x}}$

关于Logistic 回归 的使用场景和优化方向，供下回探讨。

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Logistic 回归

sigmoid转换的优势

算法

定义

对数几率

极大似然估计

小结

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