MSE和CE是机器学习中常见的两种损失函数，在训练神经网络中，也经常用到，但是如何深刻地理解二者的异同，却不是容易轻松搞定的。本文从模拟面试的角度尝试对这一问题作出解读。
精灵是一名研二的学生，土木专业，本科数学专业，从读研开始，精灵就已经感觉到自己所学专业就业行情惨淡，但是人工智能却如日中天，各大厂针对应届生开出的薪酬也是让人咂舌。凭着本科扎实的数学功底，精灵开始了人工智能修行之路，无数的挑灯夜战，写代码、调bug、推公式，什么python，什么模型，什么tensorflow，统统拿下！
眼瞅着要找实习了，精灵信心满满地将简历投到了某大厂，一天，电话突然响起：“喂，是精灵吗？我是某某厂的面试官，现在方便进行电话面试吗？”正在宿舍吃着泡面，盯着屏幕上的epoch不断增长的精灵火速擦了擦嘴，关门关窗，无比激动地开始了自己的电面之旅。
面试官先问了几个简单问题，精灵自然轻松答出来了。终于面试官问到了MSE和CE的区别。
面试官：MSE和CE你熟悉吗？
精灵：熟悉，MSE就是mean square error，CE就是cross entropy。
面试官：没错，是这样的，训练神经网络时，你经常用哪一个？
精灵：如果是回归问题，用MSE，如果是分类问题，一般用CE。（这是一个小坑，先要区分问题是分类还是回归，面试官故意模糊这一点，就是考察精灵是否清楚这样的细节）
面试官：为什么呢？
精灵：因为MSE容易发生梯度消失问题，而CE则不会。
面试官：为什么呢？
精灵：以分类问题为例，假设我们的类别数量是T，最后一层使用softmax。对一条样本(x,c)而言，其label为c。在神经网络softmax之前那一层，共有T个神经元，让我们将目光投向第c个神经元，如下图所示：
不管是用MSE还是CE，我们都是希望y_c越大越好，其他与其并列的神经元越小输出值越好。
如果是MSE，这条样本的误差是：
我们来分析这个误差对于参数w的梯度。上式中一共有T项，我们不妨先取出其中一项，比如第一项来分析：
这里，我省略了其中的推导过程，相信面试官您也能理解。观察这个式子，我们发现了一个尴尬的问题，我们是想调整参数w从而增大这一项，使它尽可能接近于1：
可当这一项接近于0时，上面的梯度也将接近于0，因为该值就是梯度的一个因子。这就是gradient vannishing。
如果是用CE，则不会出现这个问题，用CE，其损失为：
同样我们求该损失对w的梯度：
此时，我们发现，该梯度就不会发生gradient vanishing了。因为消去了导致梯度错误消失的因子。
可见，因为我们最后做了softmax，所以用CE会比MSE好。
面试官：不错！分析的很到位！就你了，明天来公司上班吧！
精灵：好嘞！
Note：写完后才发现文章中有一重大bug，不知道你看出来了没有？如果你觉得文章不错，点赞和转发就是最大的支持！
