首先是区分向量和点
对于一个向量v以及基ov1v2v3，可以找到一组坐标(a,b,c)，使得v = a v1 + b v2 + c v3
而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 v1 + p2 v2 + p3 v3
齐次坐标.JPG
齐次坐标是用来描述透视坐标上的问题的
齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标
例如：
我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有
X = x/w
Y = y/w
例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），X趋于无穷大的时候，w趋于0
同时齐次坐标可以用来描述无穷远处两平行线相交
image.png
看这个图可以明白，在视野尽头，铁轨是相交的。
证明如下
考虑两条平行线：
Ax+By+C=0
Ax+By+D=0
在欧式空间中，C=D 时两条线重合，否则不相交。用 x/w,y/w 替换x,y（如前面提到的，用 N+1 个量表示 N维坐标，这里增加了一个量 w），可以得到：
Ax+By+Cw=0
Ax+By+Dw=0
可以得到解 (x,y,0)(x,y,0)，即两条平行线在 (x,y,0)(x,y,0) 处相遇，称之为无穷点
