高等代数理论基础35：唯一性

唯一性

在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关,二次型矩阵的秩可称为二次型的秩

注：标准形的系数不唯一确定,在一般的数域内,二次型的标准形不唯一,而与所作的非退化线性替换有关

复数域

设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为一个复系数的二次型,经一适当的非退化线性替换后, $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 变为标准形,不妨设为 $d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ry_r^2,d_i\neq 0,i=1,2,\cdots,r$

显然,r为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的矩阵的秩,复数总可开平方,再作一个非退化线性替换

$\begin{cases}y_1={1\over \sqrt{d_1}}z_1\\\cdots\\y_r={1\over \sqrt{d_r}}z_r\\y_{r+1}=z_{r+1}\\\cdots\\y_n=z_n\end{cases}$

可得 $z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2$

称为复二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的规范形,显然规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定

定理：任一复系数二次型,经过一个适当的非退化线性替换可变成规范形,且唯一

注：即,任一复数的对称矩阵合同于一个形式如下的对称矩阵,从而两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等

$\begin{pmatrix}1&\\ &\ddots&\\ & &1&\\ & & &0&\\ & & & &\ddots&\\ & & & & &0\end{pmatrix}$

实数域

设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为一实系数二次型,经过某一非退化线性替换,再适当排列文字次序可使 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 变成标准形 $d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2$ ,其中 $d_i\gt 0,i=1,\cdots,r$ ,r为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的矩阵的秩,在实数域中正实数总可开平方,再作一非退化线性替换

$\begin{cases}y_1={1\over \sqrt{d_1}}z_1\\\cdots\\y_r={1\over \sqrt{d_r}}z_r\\y_{r+1}=z_{r+1}\\\cdots\\y_n=z_n\end{cases}$

可得 $z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2$

称为实二次型的规范形,显然规范形完全被r,p决定

惯性定理

定理：任一实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可变成规范形,且唯一

证明：

$唯一性$

$设实二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)经过非退化线性替换X=BY$

$化成规范形f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2$

$经过非退化线性替换X=CZ$

$也化成规范形f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=z_1^2+\cdots+z_q^2-z_{q+1}^2-\cdots-z_r^2$

$下证p=q$

$若不然,不妨设p\gt q$

$由假设$

$y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2=z_1^2+\cdots+z_q^2-z_{q+1}^2-\cdots-z_r^2$

$其中Z=C^{-1}BY$

$令C^{-1}B=G=\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots&g_{1n}\\ g_{21}&g_{22}&\cdots&g_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ g_{n1}&g_{n2}&\cdots&g_{nn}\end{pmatrix}$

$即\begin{cases}z_1=g_{11}y_1+g_{12}y_2+\cdots+g_{1n}y_n\\ z_2=g_{21}y_1+g_{22}y_2+\cdots+g_{2n}y_n\\ \cdots\\ z_n=g_{n1}y_1+g_{n2}y_2+\cdots+g_{nn}y_n\end{cases}$

$对于齐次线性方程组$

$\begin{cases}g_{11}y_1+g_{12}y_2+\cdots+g_{1n}y_n=0\\ \cdots\\ g_{q1}y_1+g_{q2}y_2+\cdots+g_{qn}y_n=0\\ y_{p+1}=0\\ \cdots\\ y_n=0\end{cases}$

$方程组含有n个未知量$

$q+(n-p)=n-(p-q)\lt n个方程$

$\therefore 方程组有非零解$

$令(y_1,\cdots,y_p,y_{p+1},\cdots,y_n)=(k_1,\cdots,k_p,k_{p+1},\cdots,k_n)$

$为一个非零解$

$则k_{p+1}=\cdots=k_p=0$

$\therefore k_1^2+\cdots+k_p^2\gt 0$

$z_1=\cdots=z_q=0$

$\therefore -z_{q+1}^2-\cdots-z_r^2\le 0$

$矛盾,即假设p\gt q不正确$

$\therefore p\le q$

$同理可证q\le p$

$\therefore p=q规范形唯一\qquad\mathcal{Q.E.D}$

惯性指数

定义：在实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的规范形中,正平方项的个数p称为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的正惯性指数,负平方项的个数r-p称为负惯性指数,它们的差 $p-(r-p)=2p-r$ 称为符号差

惯性定理另一种叙述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数,而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数

定理：(1)任一复对称矩阵A都合同于一个如下对角矩阵

$\begin{bmatrix}1&\\ &1\\ & &\ddots\\ & & &1\\ & & & &0\\ & & & & &\ddots\\ & & & & & &0\end{bmatrix}$

其中对角线上1的个数r等于A的秩

(2)任一实对称矩阵A都合同于一个如下对角矩阵

$\begin{bmatrix}1&\\ &1\\ & &\ddots\\ & & &1\\ & & & &-1\\ & & & & &\ddots\\ & & & & & &-1\\ & & & & & & &0\\ & & & & & & & &\ddots\\ & & & & & & & & &0\end{bmatrix}$

其中对角线上1的个数p以及-1的个数r-p(r为A的秩)都唯一确定,分别为A的正、负惯性指数,它们的差2p-r称为A的符号差

最后编辑于：2019.02.03 09:30:50

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