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原文链接：医咖会

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据说，每个人天生都是贝叶斯统计学家。

贝叶斯定理，听起来很遥不可及，其实贝叶斯定理应用在我们生活的方方面面，也包括医学研究当中。今天，我们就来认识一下贝叶斯定理，以及它在诊断试验中的应用。

一、贝叶斯定理

贝叶斯到底是指什么呢？举一个简单的例子。今天乌云密布，我要不要带雨伞出门？

为什么我们看到天上乌云密布，就觉得要下雨了呢？那是因为，根据经验，下雨之前往往乌云密布。

但是，“乌云密布” 一定会 “下雨” 吗？未必。

有的时候，尽管天上有乌云，可是风一吹就吹散了。也有时候，天上下雨并没有乌云，而是隔壁老王她媳妇儿在倒洗脚水。那么我们如何知道，在乌云密布的时候，下雨的概率有多高呢？

以小咖所在的帝都为例，我们可以统计 1 年内乌云密布时下雨的次数，和乌云密布的次数。

在等式的右边，分子分母同时除以 365，则得到：

当然，有时候下雨也不一定就会乌云密布，有可能是隔壁老王她媳妇儿在倒洗脚水。帝都下雨的概率是：

假设帝都每年平均有 60 天下雨，则 P（下雨）=60/365=16%。

显然，后者要小于前者。为什么都是下雨，两个概率不一样呢？

这是因为，前者在计算时，限定了 “乌云密布” 这个条件，我们把这种概率，称为 条件概率。所谓条件概率，是指事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为：P（A|B）。上面的例子中，P（乌云密布时，下雨）可记为 P（下雨 | 乌云密布）。

文章一开始，我们就断定 “每个人天生都是贝叶斯统计学家” 呢。为什么呢？

这是因为，我们每天出门时，判断要不要带伞，是先要看一下天气的。如果今天乌云密布，那么我们就判断今天下雨的概率 —— 即 P（下雨 | 乌云密布）比较大，需要带伞。如果今天没有云，我们可能也会带伞，但可能性不大，因为我们判断帝都下雨的平均概率只有 16%。

在贝叶斯理论中，把 P（下雨）称为先验概率，把 P（下雨 | 乌云密布）称为后验概率。后验概率是观察到某事件后，在先验概率的基础上，修正后的概率。

那么后验概率和先验概率是什么关系呢？

我们暂且表示为：

在之前，我们曾有：

即

可以转变为：

实际上，我们还可以得到：

因此，会得到：

转变一下，可以得到：

至此，我们就把链接先验概率和后验概率的 “未知变量” 找到了。这就是大名鼎鼎的贝叶斯定理。

再来看看日常生活中，我们的思考过程：

1、P（乌云密布）是指帝都发生 “乌云密布” 这件事的概率，我们不展开讨论。这里仅讨论，当小咖观察到 “乌云密布” 这个事件后的情况，此时 P（乌云密布）=1。

2、P（下雨）是指先验概率，即根据既往经验，小咖所在的帝都下雨的概率。如果小咖所在的帝都几乎从来不下雨，即先验概率 P（下雨）≈0，那么当小咖观察到 “乌云密布” 这个事件后，她不用带伞，因为根据上面的公式，后验概率 P（下雨 | 乌云密布）也约等于 0。

3、分子 P（乌云密布 | 下雨），小咖认为，下雨时乌云密布的可能性有多大。P（乌云密布 | 下雨）又称为似然（Likelihood）。如果小咖所在的帝都不会下太阳雨，那么小咖就会认为，只要下雨几乎一定是乌云密布，即 P（乌云密布 | 下雨）≈1。那么当小咖观察到 “乌云密布” 这个事件后 [P（乌云密布）=1]，

P（下雨 | 乌云密布）≈P（下雨）

4、如果小咖所在的帝都天天下太阳雨，或者隔壁老王媳妇儿天天倒洗脚水，小咖几乎从来没见过乌云密布时下雨，则小咖就会认为，下雨时不可能有乌云密布，即 P（乌云密布 | 下雨）≈0。那么当小咖观察到 “乌云密布” 这个事件后 [P（乌云密布）=1]，

P（下雨 | 乌云密布）≈0

这时候，小咖也不用带伞。

因此，我们可以看出，当小咖观察到 “乌云密布” 这个事件后，她虽然理所当然的带上了伞，但在潜意识中，她已经做了两个判断，即帝都下雨的概率 P（下雨）≠0；她认为下雨时乌云密布的概率很高，P（乌云密布 | 下雨）≈ 1。只要上述任何两个条件不满足一个，她是不会带伞的。

从这个角度讲，其实我们日常生活中常常使用贝叶斯的逻辑。也有人说，我们每个人天生都是贝叶斯统计家。

值得注意的是，P（下雨 | 乌云密布）≠P（乌云密布 | 下雨）（后验概率≠似然）。

尽管从这个例子里看很清楚，但实际生活中，是经常被人们忽视的。从后面的例子，我们可以更深入得理解它们的不同。

二、诊断试验中的贝叶斯逻辑

贝叶斯逻辑在诊断试验是如何体现的呢？我们来看一个例子（纯虚构）。

小王同志参加单位常规的体检，查出 HIV 为阳性，把小王吓了一大跳，赶紧上网查资料。

在一篇研究血液检查是否能够正确诊断 HIV 的学术论文中，研究者发现，血液检查的灵敏度为 81%（假阴性率为 19%），特异度为 74%（假阳性率为 26%）。

这篇文章仿佛给小王浇了一头冷水，难道收到了阳性的检验结果就意味着有 81% 的可能性得 HIV 吗？

一个星期后，小王哭丧着脸到医院复检，把这个担心告诉医生。医生说 “81%？哪有那么高概率？！81% 是这个诊断方法的灵敏度，不是你患病的概率。”

一番话说得小王一脸懵逼。

原来医生的计算方法是这样的：根据既往研究，在确实感染 HIV 的人群中，血液检查诊断阳性的概率 P (检验阳性 | 患病)=81%，在未患病的人群中，错误诊断为阳性的概率 P (检验阳性 | 未患病)=26%。根据全国范围的流行病学调查，HIV 的感染率为 5%[P (患病)=5%，P (未患病 = 95%)]。

所以，根据贝叶斯定理，在血液检查诊断阳性的人群中，确实感染 HIV 的概率：

这就是贝叶斯定理在诊断试验中的应用场景。因为小王是否感染 HIV 这个结论不能仅仅基于血液检查结果（P (患病 | 检验阳性)≠ P (检验阳性 | 患病)），而应该结合疾病的发病率（先验概率），获得一个综合诊断。

看到这个公式是不是很熟悉？哈哈，这个就是阳性预测值。阳性预测值不仅和诊断方法的准确性相关，也跟疾病的发病率相关。我们往期曾经推文里，也曾讨论过这三者之间的关系（详见：为了深入分析诊断结果，你应该了解下阳性预测值！）。

三、贝叶斯其人

最后，让我们认识一下今天的主人公，英国牧师，业余数学家、统计师，Thomas Bayes （1701-1761）。

贝叶斯出身于牧师之家，其父 Joshua Bayes 是伦敦长老会牧师。1971 年，18 岁的贝叶斯继承家族传统，进入爱丁堡大学修读逻辑学和神学，毕业后顺理成章得成为了一位牧师。

在牧师的工作之余，贝叶斯对数学和逻辑推断抱有强烈的兴趣，有传言说，贝叶斯希望通过统计概率，证明上帝的存在。然而，终其一生，他没有实现这个愿望。被冠以 “Bayes” 之名的贝叶斯定理，则是在贝叶斯过世之后，又另一位牧师 Richard Price 从他的笔记中整理发表的。

贝叶斯定理之所以很贴近生活，可能是因为它本身就是用来解释生活的。而恰恰是因为现实生活非常复杂，所以我们对于贝叶斯的理解和解读，有时看起来比较迂回和困难。

其实，只要深入思考一下，我们观测到的现象发生的概率，到底是它本身的概率，还是某种条件概率？如果是后者，那我们在解读它的时候，考虑到它本身的客观概率了吗？回答了这几个问题，你就知道是否需要用贝叶斯的方法来解决了。

参考文献：

https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes