感知机是二类分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别｛-1,1｝，是一种判别模型。感知机学习的目的在于求出将训练数据进行划分的超平面。
输入空间
,输出空间
。
%3Dsign(w%5Ccdot%20x%2Bb))
为输入向量，其中，
和
为感知机模型参数，
表示内积，sign是符号函数。感知机的几何角度理解是：
是特征空间
的一个超平面，是该平面的法向量，是截距。这个超平面将特征空间划分为正负两个部分，如下图。
感知机学习的目的是为了找到能够将正负实例点正确分开的超平面，也就是要确定参数和，感知机的学习策略便是定义一个损失函数并将其最小化。于是便要选择一个损失函数的依据，可以选择误分类的点的数量作为损失函数，然而该函数不可导，不易于优化，因此选择误分类点到超平面的距离和：
此处
是的第二范数。注意需要优化的只是误分类的点，对于误分类的点有，%3E0)
恒成立，因此可去掉绝对值符号，并假设当前超平面的误分类的点的集合为M，由此得到感知机学习的损失函数为%3D-%5Csum_%7Bx_i%5Cin%20M%7Dy_i(w%5Ccdot%20x_i%2Bb))
其中M为误分类的点的集合。显然该损失函数是非负的，当没有误分类的点时%3D0)
.只需将损失函数优化到0即得到该分类超平面，不过由该方法得到的超平面的解不是唯一的（显然只需要能够正确分类时算法即停止）。
感知机所用优化方法是随机梯度下降法，包括原始形式和对偶形式。
-
原始形式
前面已经确定了感知机的损失函数，那么其原始形式只需要最小化这个损失函数即可。
%3D-%5Csum_%7Bx_i%5Cin%20M%7Dy_i(w%5Ccdot%20x%2Bb))
其中M为误分类的点的集合。
随机梯度下降法初始时任选
,
作为初始超平面，计算有哪些误分类点，如果有误分类点，随机选取一个误分类点，进行梯度下降。即先计算损失函数的梯度
%26%3D-%5Csum_%7Bx_i%5Cin%20M%7Dy_ix_i%20%5C%5C%20%5Ctriangledown_wL(w%2Cb)%26%3D-%5Csum_%7Bx_i%5Cin%20M%7Dy_i%20%5Cend%7Baligned%7D)
梯度下降法使参数向反方向变化，使用随机选出的误分类点的数据，根据提前设置好的学习率
对
进行更新就可以了
这样便可使损失函数不断减小，直到为0时就得到了可正确分类数据集的超平面。
-
对偶形式
在原始形式的学习算法中，可以看到每次更新的数值都是选中的点)
的线性组合，那么必然可以用线性表示，这样我们可以通过求解该线性组合的系数找到该超平面。对上节的更新中，设总共修改N次，可将每次增量表示为
，其中
，假设
(这无关线性）。于是更新过程表示为
这里
的含义是在该学习率下在最后学习到的中所贡献的权重，就是最后平面的的系数，也是因该点误分类也进行更新的次数*。由此，感知机模型可由
表出。
%3Dsign(%5Csum_j%5Calpha%20_jy_j%5Ccdot%20x%20%2B%20b))
在判断是否是误分类点时用
%5Cleqslant%200)
更新时
可以看到该计算过程中训练数据全部由内积得到，因此可以提前将内积计算出来由矩阵存储，可以减少算法过程中的计算量，这是Gram矩阵。![G= [x_i \cdot x_j]_{N*N}](https://math.jianshu.com/math?formula=G%3D%20%5Bx_i%20%5Ccdot%20x_j%5D_%7BN*N%7D)
