假设我们的模型是：
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我们可以从之前的事例中看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于0的话，我们就能很好的拟合了。 所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数 θ 的值，这就是正则化的基本方法。我们决定要减少θ3和θ4的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中θ3和θ4 设置一点惩罚。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的和。 修改后的代价函数如下：
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但是，假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：
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其中 λ 又称为正则化参数（Regularization Parameter）
注：根据惯例，我们不对 θ0 进行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：
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如果选择的正则化参数 λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成
那为什么增加的一项
因为如果我们令 λ 的值很大的话，为了使Cost Function 尽可能的小，所有的 θ 的值（不包括
对于线性回归的求解，我们之前推导了两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。
正则化线性回归的代价函数为：
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对上面的算法中 时的更新式子进行调整可得：
可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令值减少了一个额外的值。
我们同样也可以利用正规方程来求解正则化线性回归模型，方法如下所示：
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图中的矩阵尺寸为
