杂合度 heterozygosity

某个位点的第 $i$ 个等位基因的样本频率为 $p_i$ ，那么该位点所有等位基因的频率和应该是1。先考虑二倍体的双等位基因，那就是 $p_1 + p_2 = 1$ 。衡量单个多态位点变异（variation）的一个方法是计算样本杂合度（heterozygosity），公式如下：

$h = \frac{n}{n-1}(1-\sum{p_i^2})$

在公式中， $n$ 代表的是样本中序列的数量。

$\pi$

上面这个公式是针对一个位点的，如果是正对一条序列的话，那其实就就是将整条序列的杂合度加起来即可。

$\pi = \sum_{j=1}^{S}h_j$

其中 $S$ 表示的是分离位点的数量， $h_j$ 表示的是第 $j$ 个分离位点的杂合度。在Wright-Fisher模型（无限位点的二倍体）下， $E(\pi) = \theta$ ，因此有时这个统计量也叫 $\theta_{\pi}$ 。我们需要注意的是在单态位点（monomorphic site）时杂合度是0。

先看这样一个例子：

假设现在有4个样本，15个位点，但是只有6个位点是分离位点，我们先计算每个分离位点的杂合度：

根据公式可知，对分离位点1（图中的第二列序列），有两个等为位点，分别是T和C，其中T有3个，C有1个，那么对T来说，它的频率就是0.75，对C来说它的频率就是0.25。根据公式可得：

$h = \frac{4}{3}\sum[1-(0.75^2 + 0.25^2) ]= 0.50$

我们以此计算就能得到其他5个分离位点的杂合度分别为：0.667，0.5，0.667，0.5，0.5。

那么就能计算 $\pi$ 值了：

$\pi = 0.5 + 0.667 + 0.5 +0.667 + 0.5 + 0.5 = 3.33$

但是我们通常关注的是每个位点 $\pi$ 的均值：

$\pi = \frac{3.33}{15} = 0.222$

我们将 $\pi$ 的计算进行推广就能得到下面这个公式：

$\pi = \frac{\sum_{i < j}k_{ij}}{n(n-1)/2}$

其中 $k_{ij}$ 表示的是第 $i$ 条序列和第 $j$ 条序列之间不同核苷酸的数量，分母表示的是 $n$ 个序列之间进行比较的唯一次数（非重复比较）。现在我们将这个公式应用到上面的序列中。

现在是有4条序列，所以 $n = 4$ . 然后以此进行比较:

第一条VS第二条:3个不同的核苷酸

第一条VS第三条:4个不同的核苷酸

第一条VS第四条:3个不同的核苷酸

第二条VS第三条:5个不同的核苷酸

第二条VS第四条:0个不同的核苷酸

第三条VS第四条:5个不同的核苷酸

所以, $\pi = \frac{3+4+3+5+0+5}{4(4-1)/2} = 3.33$

需要注意的是当数据量很大的时候,使用公式 $\pi = \sum_{j=1}^{S}h_j$ 计算更快。

正如前面说到的，我们在计算序列之间的差异时通常是省略indel将其变成缺失值进行处理的。当使用公式 $\pi = \sum_{j=1}^{S}h_j$ 并且将indel变成缺失值时，针对不同位点 $n$ 是不同的。使用公式 $\pi = \frac{\sum_{i < j}k_{ij}}{n(n-1)/2}$ 的话，通常会省略gap位置。

比如这个例子：

如果用第一个公式，那么 $\pi = 3.49$ ，但是如果用第二个公式的话， $\pi = 2.83$ 。原因是第一个公式将indel当作缺失值进行处理，而第二个公式将indel当作gap直接省略了这些位点（哪怕是在这些位点并不是分离位点）。不同的公式给出的结果也不一样，尤其是正对平均的每个位点时。因此，在处理基因组这种大数据时，通常使用 $\pi = \sum_{j=1}^{S}h_j$ 这个公式。