原发于果壳 Today I Learned 小组。后面补充的部分来自我在知乎的一个回答。

希望简书有一天能支持 LaTeX。

学过数论的应该都知道勒让德符号。对于一个整数 a 和一个素数 p ，勒让德符号 (a|p) 定义为：如果 a≡0 (mod p)，则 (a|p)=0；否则，如果存在一个整数 x 使得 x^2≡a (mod p)，则 (a|p)=1；否则 (a|p)=-1。总之，就是看 a 是不是与某个数的的平方模p同余。勒让德符号有很多有趣的性质，在数论里十分有用。

勒让德符号中的 p 只能是素数。雅克比把它推广了一下。对于一个正奇数 m，如果它的素因数分解是 m = p1 * p2 * … * ps，那么定义雅克比符号 (n/m) = (n|p1) * (n|p2) * … * (n|ps)，其中右边那一串就是勒让德符号。

雅克比符号中的m只能是正奇数。于是，克罗内克把它再推广了一下。他首先补上了 m = -1 和 m = 2 的情况。对于 m = -1 的情况，若 n < 0，则 (n/-1) = -1；若 n > 0，则 (n/-1) = 1；(0/-1) = 0。对于 m = 2 的情况，定义与勒让德符号不同，n 是偶数时，(n/2) = 0；n ≡ ±1 (mod 8) 时，(n/2) = 1；n ≡ ±3 (mod 8) 时，(n/2) = -1。然后，对于一个非 0 的整数 m，如果它的素因数分解是 m = u * p1 * p2 * … * ps，其中 u 是 ±1，那么定义 (n/m) = (n/u) * (n/p1) * (n/p2) * … * (n/ps)。最后，规定 (1/0) = (-1/0) = 1，对其它的 n 定义 (n/0) = 0。

这样，对所有整数 n、m 我们都定义了一个 (n/m)。这就是克罗内克符号。

这里我把这几个符号横着写了，而且为了区分，勒让德符号用了 |，雅克比和克罗内克符号用了 /。正式的写法应该是竖着写，比如说：

(a/p)和(a|p) 的正确写法

上面说了一大堆，都是些数论里的东西，好像与分形没有什么关系……

我们来看数列 (-1/n)，这里的 n 取正整数。根据定义不难看出，这个数列里边的每一项只能是 1 或者 -1。这是在线整数数列百科（OEIS）里的数列 A034947，开头几项是： 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1 ……

然后，假设你是一只海龟，每次从数列中读取一项；如果是 1，就向左转 90°，向前爬一步；如果是 -1，就向右转 90°，向前爬一步。这样，画出来的图像是什么？

海龟

嗯，就是龙曲线。

再放一张彩图：

龙曲线彩图

顺便说一句，我没学过 Logo 语言，这个海龟我是用 Mathematica 画的，参考了 KTurtle 的图标。

为什么这样能画出龙曲线呢？

我们先来看获得龙曲线的另一种方法。拿一根纸带，不断地对折，然后把每一处折痕按原来的凹凸展开成直角：

图片来自维基百科

于是，折痕的凹凸就对应于前面海龟作图的左转右转。那么，折痕的规律是什么呢？

我们把凹记作 1，凸记作 -1。只折一次，得到的当然是：

1

折两次，就会在原来这个 1 的前面和后面各增加一个折痕，前面是 1，后面是 -1（加粗的是原有的折痕）：

1, 1, -1

折三次，会在折两次的基础上，在最前面、最后面和相邻的两个折痕之间，都添上新的折痕。而且新添上的折痕会按 1、-1、1、-1……这样的规律排列。也就是说，相邻的两个新折痕的方向是相反的：

1, 1, -1, 1, 1, -1, -1

类似地，我们可以得到折四次的结果：

1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1

这里每一个数列都是后面一个数列的开头。如果我们无限地折下去的话，可以得到一个无限长的数列：

1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, …

于是我们不难得到这个数列的一个递推公式：

• a(2n) = a(n)
• a(4n+1) = 1
• a(4n+3) = -1

这和前面的克罗内克符号是什么关系呢？我们只需要看克罗内克符号的两个性质：

• 由克罗内克符号的定义，有 (-1/2) = 1。因此，(-1/n) = (-1/2n)。
• 数论里的一个重要的结论，有些书把它叫做二次互反律的补充律：对于奇素数 p，当 p≡1 (mod 4) 时，勒让德符号 (-1|p) = 1；当 p ≡ 3 (mod 4) 时，勒让德符号 (-1|p) = -1。

于是，(-1/n) 这个数列也满足同样的递推公式。也就是说，它们是同一个数列。