问题描述：

分配总功率给个信道，使总接收通信速率最大。

问题建模为：

其中为接收机的噪声功率，为信道带宽，为发射机的总功率，为分给第个接收机、信道增益为的发射功率。

对等式约束引入一个乘子，对不等式约束引入乘子，得到Lagrange函数:

令和分别为原问题和对偶问题的某对最优解，则得到如下KKT条件：

最优解之间满足：

或者，更简洁地，。将带入条件得到：

方程左端是的分段线性增函数，分割点为，因此上述方程有唯一确定的解。

上述解决问题的方法称为注水。这是因为，可以将看做第片区域的水平线，然后对整个区域注水，使其具有深度，所需的总水量为，不断注水，直至总水量为。第个区域的水位深度即为最优。

waterfilling.png

上述解需要确定水位，编程上的思想为：

• 以最差信道的高度作为水位，注水（分配功率）
• 若注水到该水位时功率有剩余，则均分剩余功率；
• 若水量不足，则移除该最差信道（即不分配功率），重复以上操作。

Python代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
2021.01.29 注水法进行功率分配
注水法代码参考 https://pyphysim.readthedocs.io/en/latest/_modules/pyphysim/comm/waterfilling.html
"""

import numpy as np

def waterfilling(Channels, TotalPower, NoisePower):
    """ 注水算法进行功率分配
        Channels: 信道增益
        TotalPower: 待分配的总发射功率
        NoisePower: 接收端的噪声功率
    
    Returns:
        Powers: optimum powers (分配的功率)
        mu: water level (水位)
    """
    ### 降序排列信道增益
    Channels_SortIndexes = np.argsort(Channels)[::-1]
    Channels_Sorted = Channels[Channels_SortIndexes]
    """
    计算接触最差信道的水位，对这个最差的信道分配零功率。
    此后，按此水位为每个信道分配功率，
        如果功率之和少于总功率，则均分剩余功率给各个信道（增加水位）；
        如果功率之和多于总功率，则移除最坏信道，重复操作
    """
    N_Channels = Channels.size ## 总信道数
    N_RemovedChannels = 0  ## 移除的信道数
    ## 按最差信道计算最低水位
    WaterLevel = NoisePower / (Channels_Sorted[N_Channels-N_RemovedChannels-1])
    Powers = WaterLevel - (NoisePower /Channels_Sorted[np.arange(0, N_Channels - N_RemovedChannels)])
    
    ## 当功率之和多于总功率时，移除最坏信道，直至总功率够分
    while (sum(Powers)>TotalPower) and (N_RemovedChannels<N_Channels):
        N_RemovedChannels += 1
        WaterLevel = NoisePower / (Channels_Sorted[N_Channels-N_RemovedChannels-1])
        Powers = WaterLevel - (NoisePower /Channels_Sorted[np.arange(0, N_Channels - N_RemovedChannels)])
    
    ## 将剩余的功率均分给各个(剩余的)信道
    Power_Remine = TotalPower-np.sum(Powers)
    Powers_Opt_Temp = Powers + Power_Remine/(N_Channels - N_RemovedChannels)
    
    ## 将功率分配情况按原信道顺序排列
    Powers_Opt = np.zeros([N_Channels])
    Powers_Opt[Channels_SortIndexes[np.arange(0, N_Channels-N_RemovedChannels)]] = Powers_Opt_Temp
    
    WaterLevel = Powers_Opt_Temp[0] + NoisePower / Channels_Sorted[0]
    
    return Powers_Opt, WaterLevel

if __name__ == '__main__':
    """  测试代码
    """
    power_Noise = 1e-8
    channels = np.random.random(10)*1e-10
    alpha = power_Noise/np.array(channels)
    power_Tx = 1000
    powers,waterlevel = waterfilling(np.array(channels), power_Tx, power_Noise)
    print(powers,waterlevel)

    import matplotlib
    import matplotlib.pylab as plt
#    %matplotlib inline
    
    matplotlib.rcParams.update({'font.size': 14})
    buckets = channels.size
    axis = np.arange(0.5,buckets+1.5,1)
    index = axis+0.5
    X = powers.copy()
    Y = alpha+ X
    
    # to include the last data point as a step, we need to repeat it
    A = np.concatenate((alpha,[alpha[-1]]))
    X = np.concatenate((X,[X[-1]]))
    Y = np.concatenate((Y,[Y[-1]]))
    
    plt.xticks(index)
    plt.xlim(0.5,buckets+0.5)
#    plt.ylim(0,1.5)
    plt.step(axis,A,where='post',label =r'$\sigma^2/h_i$',lw=2)
    plt.step(axis,Y,where='post',label=r'$\sigma^2/h_i + p_i$',lw=2)
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.xlabel('Bucket Number')
    plt.ylabel('Power Level')
    plt.title('Water Filling Solution')
    plt.show()