分类算法3_SVM数学推导部分

SVM优化部分简述

1.问题引入

对于如上如图的红、紫色样本点,希望找到一决策边界 \vec{w}\cdot\vec{x}+b=0\vec{w}表示权重向量,\vec{x}表示样本特征矩阵,b 表示偏置)使得 两条平行与决策边界的虚线到决策边界的相对距离最大化。两类数据中距离决策边界最近的点,就称为”支持向量“。紫色类的点为xp,红色的点为xr,可以得到:
\vec{w}\cdot{x_p}+b=1,\vec{w}\cdot{x_r}+b=-1
两式相减,得到:
\vec{w}\cdot({x_p-x_r})=2
上是两边同除以\Vert{w}\Vert,则可以得到:
\frac{\vec{w}\cdot(x_p-x_r)}{\Vert{w}\Vert}=\frac{2}{\Vert{w}\Vert}
即:
d=\frac{2}{\Vert{w}\Vert}
所以最大边界所对应的决策边界就是要最大化d,就是求解\Vert{w}\Vert 的最小值。可以转化为以下函数的最小值:
f(x)=\frac{\Vert{w}\Vert^2}{2}
对于任意样本\mathcal{i},决策函数可写作:
\vec{\mathbf{w}}\cdot{\vec{\mathbf{x_i}}}\geq1,if\quad y_i=1

\vec{\mathbf{w}}\cdot{\vec{\mathbf{x_i}}}\le-1,if\quad y_i=-1

上面两个式子表示为:
y_i(\vec{w}\cdot\vec{x_i}+b)\geq1,i=1,2,...N
即可得到目标函数的形式
\min_{w,b}\frac{\Vert{w}\Vert^2}{2}

subject\quad y_i(\vec{w}\cdot\vec{x_i}+b)\geq1,i=1,2,...N

2.拉格朗日乘数形式

​ 由于损失函数是二次的。并且损失函数的约束条件在参数w和b下是线性的,因此目标函数为凸函数,可得到如下拉格朗日函数
L(\mathbf{w},b,\alpha)=\frac{1}{2}\Vert{w}\Vert^2-\sum_{i=1}^N\alpha_i(y_i(\vec{w}\cdot\vec{x_i}+b)-1),\alpha_i\geq0

对于上式,为了实现求解最小值的同时让约束条件被满足,先以\alpha为参数,求解L(w,b,a)的最大值,再以w和b为参数,求解L(w,b,a)的最小值,得到:
\min_{w,b}\max_{\alpha_i\geq0}L(w,b,\alpha),\alpha_i\geq0

3.拉格朗日对偶函数

g(\alpha)=inf_{x\in\mathcal{D}}L(w,b.a)


\frac{\partial{L(\mathbf{w},b,\alpha)}}{\partial{\mathbf{w}}}=0\\\frac{\partial{L(\mathbf{w},b,\alpha)}}{\partial{{b}}}=0
得到:
\mathbf{w}=\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i\vec{x_i}\quad\quad\quad (1)\\\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i=0\quad\quad\quad\quad(2)
其中:
\begin{aligned} L(\mathbf{w},b,\alpha)&=\frac{1}{2}\Vert\mathbf{w}\Vert^2-\sum_{i=1}^N\alpha_i(y_i(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x_i}+b)-1)\\&=\frac{1}{2}\Vert\mathbf{w}\Vert^2-\mathbf{w}\sum_{i=1}^N(\alpha_iy_i\mathbf{x_i})-b\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i+\sum_{i=1}^N\alpha_i \end{aligned}

代入(1)、(2)式整理得对偶函数:
g(\alpha)=\sum_{i=1}^N\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_j\mathbf{x_i}\mathbf{x_j}

4.KKT条件及求解

当满足KKT条件:
\begin{aligned} \frac{{\partial}L(\mathbf{w},b,\alpha)}{{\partial}{\mathbf{w}}}&=0\\\frac{{\partial}L(\mathbf{w},b,\alpha)}{{\partial}{b}}&=0\\1-y_i((\mathbf{w\cdot{x_i}})+b)&\leq0,\forall_i=1,2,...,N\\\alpha_i&\geq0,\forall_i=1,2,...,N\\\alpha_i(1-y_i((\mathbf{w\cdot{x_i}})+b))&=0,\forall_i=1,2,...,N \end{aligned}
求解
\min_{w,b}\max_{\alpha_i\geq0} L(w,b,\alpha)\Rightarrow{max_{\alpha_i\geq0} g(\alpha)}=\max_{\alpha_i\geq0}\min_{w,b}L(w,b,\alpha)
所以求解的目标函数变化为:
\max_{\alpha_i\geq0}(\sum_{i=0}^N\alpha_i-\frac12\sum_{i,j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_j\mathbf{x_i}\mathbf{x_j})
使用SMO或者QP即可求解\alpha,求得\alpha后,代入(1)式求解\mathbf{w},使用(1)和决策边界的表达式结合式:
\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i\mathbf{x_i}\mathbf{x}+b=0
来求解b。

至此,决策函数就可以被写作:
\begin{aligned} f(x_{test})&=sign(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x_{test}}+b)\\ &=sign(\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i\mathbf{x_i\cdot{x_{test}}}+b) \end{aligned}
x_{test}是任意测试样本,sign(h)当h>0时返回1(正样本),h<0时,返回-1(负样本)。

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