动态规划问题解题步骤：
1.确定dp数组以及下标的含义
2.确定递推公式
3.dp数组如何初始化
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组
01背包
有N件物品和一个最大容量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
现在假设背包最大容量为4。
物品信息为：weight={1,3,4},value={15,20,30}。
二维dp数组01背包
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2.确定递推公式
面对当前物品有两种可能性：
- 包的容量比该物品重量小，装不下，此时的最大价值与前i-1个的最大价值是一样的，即dp[i][j]=dp[i-1][j]；
- 还有足够的容量可以装该物品，但装了也不一定达到当前最大价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即dp[i][j]=max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
综上可以从两个方向推出dp[i][j]
- 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。
- 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。
所以递推公式：dp[i][j]=max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3.dp数组如何初始化
根据递推公式和dp数组的定义来初始化dp数组。
首先如果背包容量j为0的话，dp[i][0]一定为0。
其次，根据状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]；可以看出i是由i-1推导出来，所以i为0时要初始化。
dp[0][j]，即存放编号为0的物品是，各个容量的背包可以存放的最大价值。
// 倒叙遍历
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
其余下标的初始化，有两种情况，一是零，二是负无穷。如何题目给出的价值都是正整数，那么其余下标初始化为0，若给的价值有负数，就初始化为负无穷。这样就可以保证dp数组在递推过程中取最大的价值，而不会被初始值影响。
4.确定遍历顺序
有两个遍历的维度：物品和背包容量。
具体的遍历顺序要根据题目来确定，本题都可以（主要根据递推公式来决定递推方向）。
5.举例推导dp数组
本题推导结果如下：
最终结果就是dp[2][4]
完整测试代码：
public void ZeroOnePack1(){
int[] weight={1,3,4};
int[] value={15,20,30};
int bagWeight=4;
//二维数组dp
int[][] dp=new int[weight.length][bagWeight+1];
//初始化
for (int j=bagWeight;j>=weight[0];j--){
dp[0][j]=dp[0][j-weight[0]]+value[0];
}
//weight数组的大小就是物品个数
for (int i=1;i<weight.length;i++){//遍历物品
for (int j=0;j<=bagWeight;j++){//遍历背包容量
if (j<weight[i])
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
}
System.out.println(dp[weight.length-1][bagWeight]);
}
一维dp数组（滚动数组）
使用滚动数组将dp数组压缩成一维的。
1.确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2.一维dp数组的递推公式
- dp[j]可以通过dp[j-weight[i]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
- dp[j]也可以通过dp[j - weight[i]] + value[i]推导出来，dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）。
道理与二维dp数组相同。
所以递推公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
3.一维dp数组如何初始化
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
同理其它下标的初始化要么为0，要么为负无穷。
4.一维dp数组遍历顺序
代码如下：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
这里一维dp遍历是，背包是从大到小的，这是为了保证物品i只被放入一次。
而且这里只能先遍历物品嵌套遍历背包容量。
5.举例推导dp数组
略
一维dp01背包完整测试代码
public void bag_problem2(){
int[] weight={1,3,4};
int[] value={15,20,30};
int bagWeight=4;
//一维数组dp
int[] dp=new int[bagWeight+1];
//初始化
dp[0]=0;
//遍历
for (int i=0;i<weight.length;i++){//遍历物品
for (int j=bagWeight;j>=weight[i];j--){//遍历背包容量
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}
System.out.println(dp[bagWeight]);
}
参考自：
https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w
https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA
