在上一篇文章中，我们介绍了3D-2D相机位姿估计，采用PnP方法估计单目SLAM的相机位姿。而对于RGBD深度相机来说，每张图片都有深度信息，如果还用PnP方法，就无法充分利用已知的信息。因此，本文将介绍专门用于3D-3D相机位姿估计的方法。

从两组3D点中恢复出相机位姿信息的方法通常称为迭代最近点（Iterative Closest Point，ICP）。和PnP类似，ICP的求解也分为两种方式：利用线性代数求解（SVD方法）以及利用非线性优化方式求解（类似于Bundle Adjustment）。下面分别介绍。

一、SVD方法

SVD方法直接根据3D点的坐标，通过数学推导，利用一次SVD分解，即可给出旋转矩阵R和平移矩阵t的结果。具体的推导建议看教材，这里说也说不清楚，所以只给出思路和实现代码。

下面代码中的pose_estimation_3d3d函数输入两组3D点的坐标，输出旋转矩阵R和平移矩阵t。中间用到了一次SVD分解。

void pose_estimation_3d3d (
    const vector<Point3f>& pts1,
    const vector<Point3f>& pts2,
    Mat& R, Mat& t
)
{
    Point3f p1, p2;     // center of mass
    int N = pts1.size();
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        p1 += pts1[i];
        p2 += pts2[i];
    }
    p1 = Point3f( Vec3f(p1) /  N);
    p2 = Point3f( Vec3f(p2) / N);
    vector<Point3f>     q1 ( N ), q2 ( N ); // remove the center
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        q1[i] = pts1[i] - p1;
        q2[i] = pts2[i] - p2;
    }

    // compute q1*q2^T
    Eigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        W += Eigen::Vector3d ( q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z ) * Eigen::Vector3d ( q2[i].x, q2[i].y, q2[i].z ).transpose();
    }
    cout<<"W="<<W<<endl;

    // SVD on W
    Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd ( W, Eigen::ComputeFullU|Eigen::ComputeFullV );
    Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();
    Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();
    cout<<"U="<<U<<endl;
    cout<<"V="<<V<<endl;

    Eigen::Matrix3d R_ = U* ( V.transpose() );
    Eigen::Vector3d t_ = Eigen::Vector3d ( p1.x, p1.y, p1.z ) - R_ * Eigen::Vector3d ( p2.x, p2.y, p2.z );

    // convert to cv::Mat
    R = ( Mat_<double> ( 3,3 ) <<
          R_ ( 0,0 ), R_ ( 0,1 ), R_ ( 0,2 ),
          R_ ( 1,0 ), R_ ( 1,1 ), R_ ( 1,2 ),
          R_ ( 2,0 ), R_ ( 2,1 ), R_ ( 2,2 )
        );
    t = ( Mat_<double> ( 3,1 ) << t_ ( 0,0 ), t_ ( 1,0 ), t_ ( 2,0 ) );
}

二、非线性优化方法

仍然是构造一个图优化问题，这里我们把相机位姿作为优化变量，3D点对之间的坐标变换作为误差项。由于g2o没有为我们提供3D到3D的边，因此需要我们自己来定义。这是一个一元边，观测量即3D点的维度为3，代码如下所示。

// g2o edge
class EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly : public g2o::BaseUnaryEdge<3, Eigen::Vector3d, g2o::VertexSE3Expmap>
{
public:
    EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW;
    EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly( const Eigen::Vector3d& point ) : _point(point) {}

    virtual void computeError()
    {
        const g2o::VertexSE3Expmap* pose = static_cast<const g2o::VertexSE3Expmap*> ( _vertices[0] );
        // measurement is p, point is p'
        _error = _measurement - pose->estimate().map( _point );
    }
    
    virtual void linearizeOplus()
    {
        g2o::VertexSE3Expmap* pose = static_cast<g2o::VertexSE3Expmap *>(_vertices[0]);
        g2o::SE3Quat T(pose->estimate());
        Eigen::Vector3d xyz_trans = T.map(_point);
        double x = xyz_trans[0];
        double y = xyz_trans[1];
        double z = xyz_trans[2];
        
        _jacobianOplusXi(0,0) = 0;
        _jacobianOplusXi(0,1) = -z;
        _jacobianOplusXi(0,2) = y;
        _jacobianOplusXi(0,3) = -1;
        _jacobianOplusXi(0,4) = 0;
        _jacobianOplusXi(0,5) = 0;
        
        _jacobianOplusXi(1,0) = z;
        _jacobianOplusXi(1,1) = 0;
        _jacobianOplusXi(1,2) = -x;
        _jacobianOplusXi(1,3) = 0;
        _jacobianOplusXi(1,4) = -1;
        _jacobianOplusXi(1,5) = 0;
        
        _jacobianOplusXi(2,0) = -y;
        _jacobianOplusXi(2,1) = x;
        _jacobianOplusXi(2,2) = 0;
        _jacobianOplusXi(2,3) = 0;
        _jacobianOplusXi(2,4) = 0;
        _jacobianOplusXi(2,5) = -1;
    }

    bool read ( istream& in ) {}
    bool write ( ostream& out ) const {}
protected:
    Eigen::Vector3d _point;
};

接下来是添加顶点和边，设置求解器求解。

void bundleAdjustment (
    const vector< Point3f >& pts1,
    const vector< Point3f >& pts2,
    Mat& R, Mat& t )
{
    // 初始化g2o
    typedef g2o::BlockSolver< g2o::BlockSolverTraits<6,3> > Block;  // pose维度为 6, landmark 维度为 3
    Block::LinearSolverType* linearSolver = new g2o::LinearSolverEigen<Block::PoseMatrixType>(); // 线性方程求解器
    Block* solver_ptr = new Block( linearSolver );      // 矩阵块求解器
    g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton( solver_ptr );
    g2o::SparseOptimizer optimizer;
    optimizer.setAlgorithm( solver );

    // vertex
    g2o::VertexSE3Expmap* pose = new g2o::VertexSE3Expmap(); // camera pose
    pose->setId(0);
    pose->setEstimate( g2o::SE3Quat(
        Eigen::Matrix3d::Identity(),
        Eigen::Vector3d( 0,0,0 )
    ) );
    optimizer.addVertex( pose );

    // edges
    int index = 1;
    vector<EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly*> edges;
    for ( size_t i=0; i<pts1.size(); i++ )
    {
        EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly* edge = new EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly( 
            Eigen::Vector3d(pts2[i].x, pts2[i].y, pts2[i].z) );
        edge->setId( index );
        edge->setVertex( 0, dynamic_cast<g2o::VertexSE3Expmap*> (pose) );
        edge->setMeasurement( Eigen::Vector3d( 
            pts1[i].x, pts1[i].y, pts1[i].z) );
        edge->setInformation( Eigen::Matrix3d::Identity()*1e4 );
        optimizer.addEdge(edge);
        index++;
        edges.push_back(edge);
    }

    chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
    optimizer.setVerbose( true );
    optimizer.initializeOptimization();
    optimizer.optimize(10);
    chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
    chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2-t1);
    cout<<"optimization costs time: "<<time_used.count()<<" seconds."<<endl;

    cout<<endl<<"after optimization:"<<endl;
    cout<<"T="<<endl<<Eigen::Isometry3d( pose->estimate() ).matrix()<<endl;
    
}

这个非线性优化问题似乎显得有些乏味，只对一个相机位姿进行优化，并不能体现出优化的效果。如果我们把两组3D点的坐标也作为优化变量加入图优化，也许会更有意思，不过就不在这里讨论了。

完整代码见GitHub：https://github.com/jingedawang/FeatureMethod

三、参考资料

《视觉SLAM十四讲》第7讲 视觉里程计1 高翔