2018-10-05

常见信号的变换
- 指数类和幂类
- 如果信号的 $FT$ 存在，求 $LT$ 可以直接采用 $FT$ 的结果，只要将其中的 $j\omega$ ，变换为 $s$ .
- 指数类信号
  - - 收敛区 $\sigma > \alpha$
      
      表格.png
的正幂类函数的
- - 收敛区： $\sigma > 0$
- - 收敛区： $\sigma > 0$
- - 收敛区： $\sigma > \alpha$
- - 收敛区： $\sigma > \alpha$
冲激函数
- - 收敛区: $\sigma > -\infty$
- - 收敛区： $\sigma > -\infty$
单边拉普拉斯变换
- $f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty}F(s)e^{st}ds$
- 部分分式展开法(展开法)
  - 线性特性，展开为多个简单的部分的和,通过一些已知的结果，得到的原函数.
    - - 1、 $m < n,D(s) = 0$ 无重根
        
        假设 $D(s) = 0$ 的根为 $s_1,s_2,s_3... s_n$ ,则可以将 $F(s)$ 表示为： $F(s) = \sum_{i = 1}^{n}\frac{K_i}{s - s_i}$
        
        $\mathscr{L} \{ e^{\alpha t}\varepsilon (t) \} = \frac{1}{s-\alpha} \to \mathscr{L}^{-1} {\{\frac{1}{s-\alpha}\}} = e^{\alpha t} \varepsilon (t)$
        
        $\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} = \mathscr{L}^{-1}\{\sum_{i = 1}^{n}\frac{K_i}{s-s_i}\} = \sum_{i = 1}^{n}\mathscr{L}^{-1}\{\frac{K_i}{s -s_i}\} = \sum_{i = 1}^{n} K_ie^{s_i t}\varepsilon (t)$
        
        常数 $K_i$ 的求法
        
        $K_i = (s - s_i)F(s)$
        
        系数平衡法
        
        $K_i = \frac{N(s)}{D^{'}(s)}|{s = s_i}$
        
        如果 $D(s) = 0$ 有复根,则复根一定共轭存在,假设 $s_1$ 是一个复根,则 $s_2 = s_1^{*}$ 一定也是方程的根,且与之相关的系数 $K_1$ 和 $K_2$ 满足:
        
        $K_2 = K_1^{*}$
        
        $K_1e^{s_1 t}\varepsilon (t) + K_2e^{s_2 t}\varepsilon (t) = [K_1e^{s_1t} + K_1^{*}e^{s_1^{*}t}]\varepsilon (t)$
        
        $[|K_1|e^{j\phi_1}e^{(\sigma_1 + j\omega_0)t} + |K_1|e^{-j\phi_1}e^{(\sigma_1 - j\omega_0)t}]\varepsilon (t)$
        
        $[e^{j\omega_0 t + \phi_1} + e^{-j\omega_0 t + \phi_1}]\cdot |K_1|e^{\sigma_1 t}\varepsilon (t)$
        
        $2|K_1|e^{\sigma_1 t}\cos(\omega_0 t + \phi_1)\varepsilon (t)$
      - 2、 $m < n,D(s) = 0$ 有重根(假设 $s_1$ 为 $p$ 重根),同上
      - 3、 $m >= n$ 时，先通过长除,将其变为一个关于 $s$ 的真分式和多项式的和
        
        $F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = M(s) + \frac{N_1(s)}{D(s)}$
        
        $\mathscr{L}^{-1}\{s^{n}\} = \delta^{(n)}(t)$

最后编辑于：2018.10.11 19:58:53

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